Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfcompt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt2 40624
Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt2.xph 𝑥𝜑
cncfcompt2.ab (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfcompt2.cd (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
cncfcompt2.bc (𝜑𝐵𝐶)
cncfcompt2.st (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
cncfcompt2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2
StepHypRef Expression
1 cncfcompt2.xph . . . . 5 𝑥𝜑
2 cncfcompt2.bc . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
32adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
4 cncfcompt2.ab . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 22915 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
76mptex2 6526 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐵)
83, 7sseldd 3751 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐶)
98ex 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅𝐶))
101, 9ralrimi 3105 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅𝐶)
11 eqidd 2771 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
12 eqidd 2771 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) = (𝑦𝐶𝑆))
13 cncfcompt2.st . . . 4 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
1410, 11, 12, 13fmptcof 6539 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
1514eqcomd 2776 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) = ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)))
16 cncfcompt2.cd . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
17 cncfrss 22913 . . . . . 6 ((𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
19 cncfss 22921 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
202, 18, 19syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
2120, 4sseldd 3751 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐶))
2221, 16cncfco 22929 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) ∈ (𝐴cn𝐸))
2315, 22eqeltrd 2849 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2144  wss 3721  cmpt 4861  ccom 5253  wf 6027  (class class class)co 6792  cc 10135  cnccncf 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-abs 14183  df-cncf 22900
This theorem is referenced by:  etransclem18  40980  etransclem22  40984  etransclem46  41008
  Copyright terms: Public domain W3C validator