MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpkgen 21576
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 𝐽 = 𝐽
2 cmptop 21420 . 2 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 472 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
41topopn 20933 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽𝐽)
6 simpr 479 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥 𝐽)
76snssd 4485 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ⊆ 𝐽)
8 opnneiss 21144 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
93, 5, 7, 8syl3anc 1477 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
101restid 16316 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t 𝐽) = 𝐽)
113, 10syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐽t 𝐽) = 𝐽)
12 simpl 474 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Comp)
1311, 12eqeltrd 2839 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐽t 𝐽) ∈ Comp)
14 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → (𝐽t 𝑘) = (𝐽t 𝐽))
1514eleq1d 2824 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp ↔ (𝐽t 𝐽) ∈ Comp))
1615rspcev 3449 . . 3 (( 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝐽t 𝐽) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽t 𝑘) ∈ Comp)
179, 13, 16syl2anc 696 . 2 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽t 𝑘) ∈ Comp)
181, 2, 17llycmpkgen2 21575 1 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715  {csn 4321   cuni 4588  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  t crest 16303  Topctop 20920  neicnei 21123  Compccmp 21411  𝑘Genckgen 21558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-fi 8484  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-ntr 21046  df-nei 21124  df-cmp 21412  df-kgen 21559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator