Theorem cmpfii 21385

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpfii	⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

Proof of Theorem cmpfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6350	. . . . 5 ⊢ (Clsd‘𝐽) ∈ V
2	1	elpw2 4965	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ↔ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽))
3	2	biimpri 218	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) → 𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽))
4		cmptop 21371	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5		cmpfi 21384	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → (𝐽 ∈ Comp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)))
7	6	ibi 256	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅))
8		fveq2 6340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (fi‘𝑥) = (fi‘𝑋))
9	8	eleq2d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
10	9	notbid 307	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)))
11		inteq 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑋)
12	11	neeq1d 2979	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∩ 𝑥 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑋 ≠ ∅))
13	10, 12	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)))
14	13	rspcva 3435	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Clsd‘𝐽)(¬ ∅ ∈ (fi‘𝑥) → ∩ 𝑥 ≠ ∅)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
15	3, 7, 14	syl2anr 496	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋) → ∩ 𝑋 ≠ ∅))
16	15	3impia 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑋 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝑋)) → ∩ 𝑋 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  𝒫 cpw 4290  ∩ cint 4615  ‘cfv 6037  ficfi 8469  Topctop 20871  Clsdccld 20993  Compccmp 21362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8470  df-top 20872  df-cld 20996  df-cmp 21363

This theorem is referenced by:  fclscmpi  22005  cmpfiiin  37731