Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmpcref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpcref 30248
Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
cmpcref Comp = CovHasRefFin

Proof of Theorem cmpcref
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
2 elin 3940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
31, 2sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
43simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑦)
5 elpwi 4313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥𝑦)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑦)
7 elpwi 4313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑗𝑦𝑗)
87ad4antlr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑦𝑗)
96, 8sstrd 3755 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑗)
10 selpw 4310 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑗)
119, 10sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑗)
123simprd 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
1311, 12elind 3942 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
14 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑥)
15 simpllr 817 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑦)
1614, 15eqtr3d 2797 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
17 eqid 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝑥
18 eqid 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
1917, 18ssref 21538 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑦 𝑥 = 𝑦) → 𝑥Ref𝑦)
2011, 6, 16, 19syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥Ref𝑦)
21 breq1 4808 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧Ref𝑦𝑥Ref𝑦))
2221rspcev 3450 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ∧ 𝑥Ref𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2313, 20, 22syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2423r19.29an 3216 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
25 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
26 vex 3344 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
27 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 = 𝑧
2827, 18isref 21535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V → (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)))
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣))
3029simprbi 483 . . . . . . . . . . 11 (𝑧Ref𝑦 → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
3130adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
32 sseq2 3769 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑢𝑣𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
3332ac6sg 9523 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → (∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))))
3425, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
35 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓:𝑧𝑦)
36 frn 6215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑧𝑦 → ran 𝑓𝑦)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓𝑦)
38 vex 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
3938rnex 7267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran 𝑓 ∈ V
4039elpw 4309 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦 ↔ ran 𝑓𝑦)
4137, 40sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦)
42 ffn 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑧𝑦𝑓 Fn 𝑧)
4335, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 Fn 𝑧)
44 elin 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑗𝑧 ∈ Fin))
4544simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
4645ad4antlr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ∈ Fin)
47 fnfi 8406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn 𝑧𝑧 ∈ Fin) → 𝑓 ∈ Fin)
4843, 46, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 ∈ Fin)
49 rnfi 8417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ Fin → ran 𝑓 ∈ Fin)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ Fin)
5141, 50elind 3942 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
52 simp-5r 831 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = 𝑦)
5327, 18refbas 21536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧Ref𝑦 𝑦 = 𝑧)
5453ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = 𝑧)
55 nfv 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦)
56 nfra1 3080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)
5755, 56nfan 1978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑢((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
58 rspa 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
5958adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
6059sseld 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6160ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑢𝑧 → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢))))
6257, 61reximdai 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (∃𝑢𝑧 𝑥𝑢 → ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
63 eluni2 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢))
65 fnunirn 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑧 → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6643, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6762, 64, 663imtr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧𝑥 ran 𝑓))
6867ssrdv 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ran 𝑓)
6954, 68eqsstrd 3781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 ran 𝑓)
7037unissd 4615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 𝑦)
7169, 70eqssd 3762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = ran 𝑓)
7252, 71eqtrd 2795 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = ran 𝑓)
73 unieq 4597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ran 𝑓 𝑥 = ran 𝑓)
7473eqeq2d 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ran 𝑓 → ( 𝑗 = 𝑥 𝑗 = ran 𝑓))
7574rspcev 3450 . . . . . . . . . . . 12 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ∧ 𝑗 = ran 𝑓) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7651, 72, 75syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7776expl 649 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ((𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7877exlimdv 2011 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → (∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7934, 78mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
8079r19.29an 3216 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
8124, 80impbida 913 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦))
8281pm5.74da 725 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) → (( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8382ralbidva 3124 . . . 4 (𝑗 ∈ Top → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8483pm5.32i 672 . . 3 ((𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
85 eqid 2761 . . . 4 𝑗 = 𝑗
8685iscmp 21414 . . 3 (𝑗 ∈ Comp ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)))
8785iscref 30242 . . 3 (𝑗 ∈ CovHasRefFin ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8884, 86, 873bitr4i 292 . 2 (𝑗 ∈ Comp ↔ 𝑗 ∈ CovHasRefFin)
8988eqriv 2758 1 Comp = CovHasRefFin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2140  wral 3051  wrex 3052  Vcvv 3341  cin 3715  wss 3716  𝒫 cpw 4303   cuni 4589   class class class wbr 4805  ran crn 5268   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  Fincfn 8124  Topctop 20921  Compccmp 21412  Refcref 21528  CovHasRefccref 30240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-reg 8665  ax-inf2 8714  ax-ac2 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-fin 8128  df-r1 8803  df-rank 8804  df-card 8976  df-ac 9150  df-cmp 21413  df-ref 21531  df-cref 30241
This theorem is referenced by:  cmpfiref  30249  cmppcmp  30256
  Copyright terms: Public domain W3C validator