Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpcmet 23316
 Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 33933. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
cmpcmet.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
cmpcmet (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 relcmpcmet.2 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 1rp 12029 . . 3 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5 cmpcmet.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
65adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Comp)
7 metxmet 22340 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
98adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
101mopntop 22446 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
13 rpxr 12033 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
143, 13mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
15 blssm 22424 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
169, 12, 14, 15syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
171mopnuni 22447 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
189, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1916, 18sseqtrd 3782 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝐽)
20 eqid 2760 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2120clscld 21053 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
2211, 19, 21syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
23 cmpcld 21407 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
246, 22, 23syl2anc 696 . 2 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
251, 2, 4, 24relcmpcmet 23315 1 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129  ℝ*cxr 10265  ℝ+crp 12025   ↾t crest 16283  ∞Metcxmt 19933  Metcme 19934  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938  Topctop 20900  Clsdccld 21022  clsccl 21024  Compccmp 21391  CMetcms 23252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ico 12374  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-cmp 21392  df-fil 21851  df-flim 21944  df-fcls 21946  df-cfil 23253  df-cmet 23255 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator