Theorem cmnmnd 18428

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	iscmn 18420	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
4	3	simplbi 478	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +_gcplusg 16163  Mndcmnd 17515  CMndccmn 18413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6817  df-cmn 18415

This theorem is referenced by:  cmn32  18431  cmn4  18432  cmn12  18433  mulgnn0di  18451  mulgmhm  18453  ghmcmn  18457  prdscmnd  18484  gsumres  18534  gsumcl2  18535  gsumf1o  18537  gsumsubmcl  18539  gsumadd  18543  gsumsplit  18548  gsummhm  18558  gsummulglem  18561  gsuminv  18566  gsumunsnfd  18576  gsumdifsnd  18580  gsum2d  18591  prdsgsum  18597  srgmnd  18729  gsumvsmul  19149  psrbagev1  19732  evlslem3  19736  evlslem1  19737  frlmgsum  20333  frlmup2  20360  islindf4  20399  mdetdiagid  20628  mdetrlin  20630  mdetrsca  20631  gsummatr01lem3  20685  gsummatr01  20687  chpscmat  20869  chp0mat  20873  chpidmat  20874  tmdgsum  22120  tmdgsum2  22121  tsms0  22166  tsmsmhm  22170  tsmsadd  22171  tgptsmscls  22174  tsmssplit  22176  tsmsxplem1  22177  tsmsxplem2  22178  imasdsf1olem  22399  lgseisenlem4  25323  xrge00  30016  xrge0omnd  30041  slmdmnd  30089  gsumle  30109  gsummptres  30114  xrge0iifmhm  30315  xrge0tmdOLD  30321  esum0  30441  esumsnf  30456  esumcocn  30472  gsumge0cl  41109  sge0tsms  41118  gsumpr  42667  gsumdifsndf  42672