Theorem clwwnisshclwwsn 27217

Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkclwwlkn 27185	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
2		clwwlknlen 27187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
4	3	oveq2d 6809	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (0...𝑁) = (0...(♯‘𝑊)))
5	4	eleq2d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
6	5	biimpa 462	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		clwwisshclwwsn 27166	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8	1, 6, 7	syl2an2r 664	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 27189	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		elfzelz 12549	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		cshwlen 13754	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
13	10, 11, 12	syl2an 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
14	2	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
15	13, 14	eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁)
16		isclwwlkn 27180	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁))
17	8, 15, 16	sylanbrc 572	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  ℤcz 11579  ...cfz 12533  ♯chash 13321  Word cword 13487   cyclShift ccsh 13743  Vtxcvtx 26095  ClWWalkscclwwlk 27131   ClWWalksN cclwwlkn 27174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-substr 13499  df-csh 13744  df-clwwlk 27132  df-clwwlkn 27176

This theorem is referenced by:  clwwlknscsh  27220