Theorem clwwlknunOLD 27265

Description: Obsolete version of clwwlknun 27261 as of 3-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwwlknunOLD.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknunOLD	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑤,𝐺   𝑤,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknunOLD

Dummy variables 𝑦 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4676	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
2		fveq1 6351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤‘0) = (𝑦‘0))
3	2	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤‘0) = 𝑥 ↔ (𝑦‘0) = 𝑥))
4	3	elrab 3504	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥))
5	4	rexbii 3179	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥))
6		simpl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
8	7	rexlimdvw 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
9		clwwlknunOLD.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11	9, 10	clwwlknp 27165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
12	11	anim2i 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
13	10, 9	usgrpredgv 26288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((lastS‘𝑦) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦‘0) ∈ 𝑉))
14	13	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((lastS‘𝑦) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦‘0) ∈ 𝑉)))
15		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((lastS‘𝑦) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦‘0) ∈ 𝑉) → (𝑦‘0) ∈ 𝑉)
16	14, 15	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑦‘0) ∈ 𝑉))
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑦‘0) ∈ 𝑉))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦‘0) ∈ 𝑉))
19	18	3ad2ant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦‘0) ∈ 𝑉))
20	19	impcom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑦‘0) ∈ 𝑉)
21		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑥 = (𝑦‘0)) → 𝑥 = (𝑦‘0))
22	21	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑥 = (𝑦‘0)) → (𝑦‘0) = 𝑥)
23	22	biantrud 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑥 = (𝑦‘0)) → (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥)))
24	23	bicomd 213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑥 = (𝑦‘0)) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
25	20, 24	rspcedv 3453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥)))
26	25	adantld 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑦‘𝑖), (𝑦‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑦), (𝑦‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥)))
27	12, 26	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥))
28	27	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥)))
29	8, 28	impbid 202	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑦‘0) = 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
30	5, 29	syl5bb 272	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
31	1, 30	syl5rbb 273	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
32	31	eqrdv 2758	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054  {cpr 4323  ∪ ciun 4672  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   − cmin 10458  ℕ₀cn0 11484  ..^cfzo 12659  ♯chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  USGraphcusgr 26243   ClWWalksN cclwwlkn 27147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-edg 26139  df-umgr 26177  df-usgr 26245  df-clwwlk 27105  df-clwwlkn 27149

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