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Theorem clwwlknonwwlknonbOLD 27276
 Description: Obsolete version of clwwlknonwwlknonb 27275 as of 27-Mar-2022. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonwwlknonbOLD ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))

Proof of Theorem clwwlknonwwlknonbOLD
StepHypRef Expression
1 s1eq 13590 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
21oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))
32eleq1d 2824 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
43biimpac 504 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
54adantl 473 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
6 nnnn0 11511 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
76anim2i 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
873adant2 1126 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
9 wwlksnprcl 26963 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
11 simp1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1211adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
13 simp2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝑉)
1413adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑋𝑉)
15 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1615eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
17 ccats1val2 13621 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
1812, 14, 16, 17syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
1918a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋))
2019ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)))
2110, 20syld 47 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)))
2221imp32 448 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2311adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2413adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 𝑋𝑉)
25 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2625eqcoms 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2726biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
2928com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
30293ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
3110, 30syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
3231imp32 448 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
33 lbfzo0 12722 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3432, 33sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35 ccats1val1 13620 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3623, 24, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
37 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
3837adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
3936, 38eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)
405, 22, 39jca31 558 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
4140ex 449 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
42 wwlksnprcl 26963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
438, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
44 eleq1a 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
45443ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
4643, 45syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
4746impcom 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
4847, 33sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
4911, 13, 48, 35syl2an23an 1534 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
5049eqeq1d 2762 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋))
5150biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))
5251ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
5352com23 86 . . . . . . 7 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋)))
5453adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋)))
5554imp 444 . . . . 5 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋))
56 s1eq 13590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
5756eqcoms 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
5857oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
5958eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
6059biimpac 504 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
61 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
6260, 61jca 555 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
6362ex 449 . . . . . . 7 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
6463adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
6564adantr 472 . . . . 5 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
6655, 65syldc 48 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
6741, 66impbid 202 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
68 clwwlknonwwlknonb.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6968clwwlknwwlksnb 27206 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
70693adant2 1126 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
7170anbi1d 743 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
72 3anan32 1083 . . . 4 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
7372a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
7467, 71, 733bitr4rd 301 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
75 wwlknon 26984 . . 3 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋))
7675a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)))
776anim2i 594 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
78773adant1 1125 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
7968isclwwlknonOLD 27259 . . 3 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8078, 79syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8174, 76, 803bitr4rd 301 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  ℕcn 11232  ℕ0cn0 11504  ..^cfzo 12679  ♯chash 13331  Word cword 13497   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500  Vtxcvtx 26094   WWalksN cwwlksn 26950   WWalksNOn cwwlksnon 26951   ClWWalksN cclwwlkn 27168  ClWWalksNOncclwwlknon 27253 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-wwlks 26954  df-wwlksn 26955  df-wwlksnon 26956  df-clwwlk 27126  df-clwwlkn 27170  df-clwwlknon 27254 This theorem is referenced by: (None)
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