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Theorem clwwlknonwwlknonb 27246
Description: A word over vertices represents a closed walk of a fixed length 𝑁 on vertex 𝑋 iff the word concatenated with 𝑋 represents a walk of length 𝑁 on 𝑋 and 𝑋. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 and 𝑊 = ∅, see clwwlknwwlksnb 27177. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by AV, 27-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonwwlknonb ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))

Proof of Theorem clwwlknonwwlknonb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s1eq 13562 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
21oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))
32eleq1d 2816 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
43biimpac 504 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
54adantl 473 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
6 fvexd 6356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) ∈ V)
7 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊‘0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
86, 7mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋𝑋 ∈ V)
9 clwwlknonwwlknonb.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
119, 10wwlknp 26938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
12 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
13 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1413anim2i 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
1514ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V))
16 ccats1alpha 13582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋 ∈ V) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉)))
18 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
1917, 18syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑋𝑉))
2019com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉))
2221imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑋𝑉)
23 nnnn0 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 ccatws1lenp1b 13585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2523, 24sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2625biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2827com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) = 𝑁))
3029imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3130eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
3212, 22, 313jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
3332ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
34333adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3511, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊))))
3635expd 451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ V → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
3736com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ V → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
388, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
393, 38sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
4039com13 88 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))))
4140imp32 448 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
42 ccats1val2 13593 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
44 ccat1st1st 13594 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
4544ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
462fveq1d 6346 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0))
4746eqeq1d 2754 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
4847ad2antll 767 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
4945, 48mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
50 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
5150adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
5249, 51eqtrd 2786 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)
535, 43, 52jca31 558 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
5453ex 449 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
55 fvexd 6356 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) ∈ V)
56 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
5755, 56mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋𝑋 ∈ V)
5835imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)))
59 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉))
60 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑋𝑉𝑋𝑉))
61 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
62 lbfzo0 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6362biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6461, 63syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
6564com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
6766ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑁 = (♯‘𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
6859, 60, 673anim123d 1547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))
6958, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
70 ccats1val1 13592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7271eqeq1d 2754 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋))
7372biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))
7473ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7574adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7675com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋)))
7776expcom 450 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ V → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑊‘0) = 𝑋))))
7877com14 96 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (𝑋 ∈ V → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋))))
7957, 78mpd 15 . . . . . 6 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋)))
8079impcom 445 . . . . 5 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊‘0) = 𝑋))
81 s1eq 13562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
8281eqcoms 2760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
8382oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
8483eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
8584biimpac 504 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
86 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
8785, 86jca 555 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
8887ex 449 . . . . . 6 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8988ad2antrr 764 . . . . 5 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9080, 89syldc 48 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9154, 90impbid 202 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
929clwwlknwwlksnb 27177 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
9392anbi1d 743 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
94 3anan32 1083 . . . 4 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋))
9594a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋)))
9691, 93, 953bitr4rd 301 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
97 wwlknon 26955 . . 3 ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋))
9897a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)))
99 isclwwlknon 27229 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
10099a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
10196, 98, 1003bitr4rd 301 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  Vcvv 3332  {cpr 4315  cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123  cn 11204  0cn0 11476  ..^cfzo 12651  chash 13303  Word cword 13469   ++ cconcat 13471  ⟨“cs1 13472  Vtxcvtx 26065  Edgcedg 26130   WWalksN cwwlksn 26921   WWalksNOn cwwlksnon 26922   ClWWalksN cclwwlkn 27139  ClWWalksNOncclwwlknon 27224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-lsw 13478  df-concat 13479  df-s1 13480  df-wwlks 26925  df-wwlksn 26926  df-wwlksnon 26927  df-clwwlk 27097  df-clwwlkn 27141  df-clwwlknon 27225
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