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Theorem clwwlknonex2lem2 27178
Description: Lemma 2 for clwwlknonex2 27179: Transformation of a walk and two edges into a walk extended by two vertices/edges. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknonex2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonex2lem2 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknonex2lem2
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfzonn0 12628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
32adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4 lencl 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 elfzo0 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
6 nn0re 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
76adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
8 nn0re 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
9 peano2rem 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
1110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
128adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
137, 11, 123jca 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
148ltm1d 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
1514adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
16 lttr 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
1716expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊))))
1813, 15, 17sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
1918impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)))
20193adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)))
215, 20sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)))
224, 21syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
2423imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 < (♯‘𝑊))
25 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
26 ccat2s1fvw 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
271, 3, 24, 25, 26syl31anc 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
2827eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖))
29 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
30 peano2nn0 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
31303ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
325, 31sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
34 1red 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
357, 34, 12ltaddsubd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) < (♯‘𝑊) ↔ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
3635biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
3736impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
38373adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
395, 38sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
404, 39mpan9 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊))
4129, 33, 403jca 1379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
4241adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
43 ccat2s1fvw 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4442, 25, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4544eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)))
4628, 45preq12d 4383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))})
4746eleq1d 2788 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4847ralbidva 3087 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4948biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5049impancom 455 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
51503adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
52513ad2ant1 1125 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5352com12 32 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5453a1dd 50 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
55543adant3 1124 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
5655imp31 447 . 2 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
57 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
58573adant3 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
59 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
60 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
62 eluzelcn 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
63 2cnd 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
64 1cnd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
6562, 63, 64subsub4d 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
66 2p1e3 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 + 1) = 3
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) = 3)
6867oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3))
69 uznn0sub 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
7068, 69eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) ∈ ℕ0)
7165, 70eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ0)
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ0)
7361, 72eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
7473ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
764, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
7877ltm1d 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
7959, 75, 783jca 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
8079ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
8180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
82813ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
8382imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
84 simpl2 1206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
85 ccat2s1fvw 13535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
8683, 84, 85syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
87 nn0cn 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
88 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
89 npcan 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
9087, 88, 89sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
914, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
93923ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
9493fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
95 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)
96952a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
9796imdistani 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
98973ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
99 simp2l 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋𝑉)
100 simp2r 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑌𝑉)
101 ccatw2s1p1 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
10298, 99, 100, 101syl12anc 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
10394, 102eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
104103adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
10586, 104preq12d 4383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
106 lsw 13459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
108 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) = 𝑋)
109107, 108preq12d 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
110109eleq1d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
111110biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
112111expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
113112com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
114113imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
1151143adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
116115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
117105, 116eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
118117exp520 1412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
119118com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1201193ad2ant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
12158, 120syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
122121com25 99 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
123122com14 96 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1241233adant2 1123 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1251243imp 1101 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))
126125impcom 445 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
127126imp 444 . . 3 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
12895, 101mpanl2 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
129 ccatw2s1p2 13534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
13095, 129mpanl2 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
131128, 130preq12d 4383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
132131expcom 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌}))
133132a1i 11 . . . . . . . . . 10 ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
134133com13 88 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
1351343ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
1361353ad2ant1 1125 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
137136com12 32 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
1381373adant3 1124 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
139138imp31 447 . . . 4 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
140 simpr 479 . . . 4 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
141139, 140eqeltrd 2803 . . 3 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸)
142 ovex 6793 . . . 4 ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
143 fvex 6314 . . . 4 (♯‘𝑊) ∈ V
144 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
145 oveq1 6772 . . . . . . 7 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (𝑖 + 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
146145fveq2d 6308 . . . . . 6 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
147144, 146preq12d 4383 . . . . 5 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
148147eleq1d 2788 . . . 4 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
149 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
150 oveq1 6772 . . . . . . 7 (𝑖 = (♯‘𝑊) → (𝑖 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
151150fveq2d 6308 . . . . . 6 (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)))
152149, 151preq12d 4383 . . . . 5 (𝑖 = (♯‘𝑊) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))})
153152eleq1d 2788 . . . 4 (𝑖 = (♯‘𝑊) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
154142, 143, 148, 153ralpr 4345 . . 3 (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
155127, 141, 154sylanbrc 701 . 2 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
156 ralunb 3902 . 2 (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
15756, 155, 156sylanbrc 701 1 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  cun 3678  {cpr 4287   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   < clt 10187  cmin 10379  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  0cn0 11405  cuz 11800  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398   lastS clsw 13399   ++ cconcat 13400  ⟨“cs1 13401  Vtxcvtx 25994  Edgcedg 26059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-lsw 13407  df-concat 13408  df-s1 13409
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  27179
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