MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknonex2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknonex2lem1 27278
Description: Lemma 1 for clwwlknonex2 27280: Transformation of a special half-open integer range into a union of a smaller half-open integer range and an unordered pair. This Lemma would not hold for 𝑁 = 2, i.e., (♯‘𝑊) = 0, because (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^((0 + 2) − 1)) = (0..^1) = {0} ≠ {-1, 0} = (∅ ∪ {-1, 0}) = ((0..^(0 − 1)) ∪ {(0 − 1), 0}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}). (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonex2lem1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Proof of Theorem clwwlknonex2lem1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11912 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2 2cnd 11306 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10605 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
43adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
5 eleq1 2828 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
65adantl 473 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
74, 6mpbird 247 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8 2cnd 11306 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 2 ∈ ℂ)
9 1cnd 10269 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 1 ∈ ℂ)
107, 8, 9addsubd 10626 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) + 2) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 2))
1110oveq2d 6831 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)))
12 oveq1 6822 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
1312adantl 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
14 uznn0sub 11933 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
15 1cnd 10269 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
161, 2, 15subsub4d 10636 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
17 2p1e3 11364 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
1817oveq2i 6826 . . . . . . 7 (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3)
1916, 18syl6eq 2811 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
20 nn0uz 11936 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
2120eqcomi 2770 . . . . . . 7 (ℤ‘0) = ℕ0
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (ℤ‘0) = ℕ0)
2314, 19, 223eltr4d 2855 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ‘0))
2423adantr 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ‘0))
2513, 24eqeltrd 2840 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
26 fzosplitpr 12792 . . 3 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
2725, 26syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
287, 9npcand 10609 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
2928preq2d 4420 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)} = {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)})
3029uneq2d 3911 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
3111, 27, 303eqtrd 2799 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  cun 3714  {cpr 4324  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  cmin 10479  2c2 11283  3c3 11284  0cn0 11505  cuz 11900  ..^cfzo 12680  chash 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  27280
  Copyright terms: Public domain W3C validator