MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon1nloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknon1nloop 27268
Description: If there is no loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is empty. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon1nloop ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)

Proof of Theorem clwwlknon1nloop
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknon1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 clwwlknon1.c . . . . 5 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3 clwwlknon1.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 2, 3clwwlknon1 27266 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
54adantr 472 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
6 df-nel 3036 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
76biimpi 206 . . . . . . . 8 ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
87olcd 407 . . . . . . 7 ({𝑋} ∉ 𝐸 → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
98ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
10 ianor 510 . . . . . 6 (¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ↔ (¬ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∨ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸))
119, 10sylibr 224 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
1211ralrimiva 3104 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
13 rabeq0 4100 . . . 4 ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
1412, 13sylibr 224 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = ∅)
155, 14eqtrd 2794 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
162oveqi 6827 . . . 4 (𝑋𝐶1) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)
171eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
1817notbii 309 . . . . . . 7 𝑋𝑉 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
1918biimpi 206 . . . . . 6 𝑋𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
2019intnanrd 1001 . . . . 5 𝑋𝑉 → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
21 clwwlknon0 27261 . . . . 5 (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
2220, 21syl 17 . . . 4 𝑋𝑉 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
2316, 22syl5eq 2806 . . 3 𝑋𝑉 → (𝑋𝐶1) = ∅)
2423adantr 472 . 2 ((¬ 𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
2515, 24pm2.61ian 866 1 ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wnel 3035  wral 3050  {crab 3054  c0 4058  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  1c1 10149  cn 11232  Word cword 13497  ⟨“cs1 13500  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  ClWWalksNOncclwwlknon 27253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-s1 13508  df-clwwlk 27126  df-clwwlkn 27170  df-clwwlknon 27254
This theorem is referenced by:  clwwlknon1sn  27269  clwwlknon1le1  27270
  Copyright terms: Public domain W3C validator