Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknclwwlkdifnumOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknclwwlkdifnumOLD 27124
 Description: Obsolete version of clwwlknclwwlkdifnum 27122 as of 8-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknclwwlkdifsOLD.a 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
clwwlknclwwlkdifsOLD.b 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
clwwlknclwwlkdifnumOLD.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknclwwlkdifnumOLD (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknclwwlkdifnumOLD
StepHypRef Expression
1 clwwlknclwwlkdifsOLD.a . . . 4 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
2 clwwlknclwwlkdifsOLD.b . . . 4 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
31, 2clwwlknclwwlkdifsOLD 27123 . . 3 𝐴 = ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)
43fveq2i 6356 . 2 (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵))
5 clwwlknclwwlkdifnumOLD.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
65eleq1i 2830 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
76biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
87adantl 473 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
98adantr 472 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10 wwlksnfi 27045 . . . . 5 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
11 rabfi 8352 . . . . 5 ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
129, 10, 113syl 18 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
13 simpr 479 . . . . . . 7 (((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋))
1514ss2rabi 3825 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
162, 15eqsstri 3776 . . . 4 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
17 hashssdif 13412 . . . 4 (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
1812, 16, 17sylancl 697 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
19 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
2019adantr 472 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
21 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
2221adantr 472 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑉 ∈ Fin)
23 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝑉)
2423adantl 473 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝑉)
25 nnnn0 11511 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2625adantl 473 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2726adantl 473 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
285rusgrnumwwlkg 27119 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾𝑁))
2920, 22, 24, 27, 28syl13anc 1479 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾𝑁))
3029oveq1d 6829 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
3118, 30eqtrd 2794 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
324, 31syl5eq 2806 1 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {crab 3054   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  0cc0 10148   − cmin 10478  ℕcn 11232  ℕ0cn0 11504  ↑cexp 13074  ♯chash 13331  lastSclsw 13498  Vtxcvtx 26094  RegUSGraphcrusgr 26683   WWalksN cwwlksn 26950 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-substr 13509  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-vtx 26096  df-iedg 26097  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-ushgr 26174  df-upgr 26197  df-umgr 26198  df-uspgr 26265  df-usgr 26266  df-fusgr 26429  df-nbgr 26445  df-vtxdg 26593  df-rgr 26684  df-rusgr 26685  df-wwlks 26954  df-wwlksn 26955 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator