Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkn 27178
 Description: The set of closed walks of a fixed length 𝑁 as words over the set of vertices in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁

Proof of Theorem clwwlkn
Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
21adantl 467 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑔 = 𝐺) → (ClWWalks‘𝑔) = (ClWWalks‘𝐺))
3 eqeq2 2782 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
43adantr 466 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑔 = 𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑤) = 𝑁))
52, 4rabeqbidv 3345 . . 3 ((𝑛 = 𝑁𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
6 df-clwwlkn 27176 . . 3 ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
7 fvex 6344 . . . 4 (ClWWalks‘𝐺) ∈ V
87rabex 4947 . . 3 {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V
95, 6, 8ovmpt2a 6942 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
106mpt2ndm0 7026 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
11 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1211clwwlkbp 27135 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
1312simp2d 1137 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14 lencl 13520 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
16 eleq1 2838 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → ((♯‘𝑤) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
1715, 16syl5ibcom 235 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
1817con3rr3 152 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
1918ralrimiv 3114 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
20 ral0 4218 . . . . . 6 𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁
21 fvprc 6327 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = ∅)
2221raleqdv 3293 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁 ↔ ∀𝑤 ∈ ∅ ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
2320, 22mpbiri 248 . . . . 5 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
2419, 23jaoi 846 . . . 4 ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) → ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
25 ianor 966 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
26 rabeq0 4104 . . . 4 ({𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
2724, 25, 263imtr4i 281 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅)
2810, 27eqtr4d 2808 . 2 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
299, 28pm2.61i 176 1 (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 836   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  ∅c0 4063  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℕ0cn0 11499  ♯chash 13321  Word cword 13487  Vtxcvtx 26095  ClWWalkscclwwlk 27131   ClWWalksN cclwwlkn 27174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-clwwlk 27132  df-clwwlkn 27176 This theorem is referenced by:  isclwwlkn  27180  clwwlkn0  27182  clwwlknfi  27201  clwlknf1oclwwlkn  27255
 Copyright terms: Public domain W3C validator