Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkinwwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkinwwlk 27196
 Description: If the initial vertex of a walk occurs another time in the walk, the walk starts with a closed walk. Since the walk is expressed as a word over vertices, the closed walk can be expressed as a subword of this word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 23-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkinwwlk (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑀 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlkinwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2771 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2wwlknp 26971 . 2 (𝑊 ∈ (𝑀 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 swrdcl 13627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 simpll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8 simprl 754 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 eluz2 11894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
10 zre 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11 zre 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁𝑀𝑁𝑀)
1310, 11, 123anim123i 1154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑀))
149, 13sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑀))
15 letrp1 11067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 1))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 1))
1716adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 1))
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 1))
19 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 1)))
2019ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 1)))
2118, 20mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
22 swrdn0 13639 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
237, 8, 21, 22syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
246, 23jca 501 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
25243adantl3 1173 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
2625adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
27 nnz 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28 1nn0 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
29 eluzmn 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
3027, 28, 29sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
31 uzss 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
3332sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
34 fzoss2 12704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
36353ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
37 ssralv 3815 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
39383exp 1112 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4039com34 91 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
41403imp1 1440 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
4241adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
43 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
44 elnn0uz 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4543, 44sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
46 eluzfz 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...𝑀))
4745, 46sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...𝑀))
48 fzelp1 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (0...𝑀) → 𝑁 ∈ (0...(𝑀 + 1)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑀 + 1)))
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (0...(𝑀 + 1)))
51 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(𝑀 + 1)))
5251eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑀 + 1))))
5352ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑀 + 1))))
5450, 53mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
55 swrd0len 13630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
567, 54, 55syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
5756oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
5857oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
5958raleqdv 3293 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
607adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6154adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6230ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
63 fzoss2 12704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
6564sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 swrd0fv 13648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
6760, 61, 65, 66syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
6827ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 elfzom1elp1fzo 12743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7068, 69sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
71 swrd0fv 13648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
7260, 61, 70, 71syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
7367, 72preq12d 4412 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
7473eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7574ralbidva 3134 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7659, 75bitrd 268 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
77763adantl3 1173 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7877adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7942, 78mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
80 elfz1uz 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
81 fzelp1 12600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (1...(𝑀 + 1)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (1...(𝑀 + 1)))
8382adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑀 + 1)))
84 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...(𝑀 + 1)))
8584eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 + 1))))
8685ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 + 1))))
8783, 86mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
88 swrd0fvlsw 13652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
89 swrd0fv0 13649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑊‘0))
9088, 89preq12d 4412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
917, 87, 90syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
92913adantl3 1173 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
9392adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
94 fz1fzo0m1 12724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9580, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑀))
96953ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑀))
97 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → 𝑖 = (𝑁 − 1))
9897fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
99 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
100 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
101 npcan1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
10399, 102sylan9eqr 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑖 + 1) = 𝑁)
104103fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊𝑁))
10598, 104preq12d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)})
106105eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
107106ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
108107adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
1091083ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109imp 393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
11196, 110rspcdv 3463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1121113exp 1112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
113112com34 91 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1141133imp1 1440 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
115114adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
116 preq2 4405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝑁) = (𝑊‘0) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
117116eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝑁) = (𝑊‘0) → ({(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
118117adantl 467 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → ({(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
119115, 118mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
12093, 119eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
12126, 79, 1203jca 1122 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
122121exp31 406 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑊𝑁) = (𝑊‘0) → (((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1231223imp21 1105 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1241, 2isclwwlk 27134 . . . 4 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
125123, 124sylibr 224 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
12647adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (0...𝑀))
127126, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (0...(𝑀 + 1)))
128127, 53mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1297, 128jca 501 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
130129ex 397 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
1311303adant3 1126 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
132131impcom 394 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
1331323adant3 1126 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
134133, 55syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
135 isclwwlkn 27180 . . 3 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
136125, 134, 135sylanbrc 572 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑀 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
1373, 136syl3an2 1167 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑀 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  {cpr 4318  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   ≤ cle 10277   − cmin 10468  ℕcn 11222  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579  ℤ≥cuz 11888  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487  lastSclsw 13488   substr csubstr 13491  Vtxcvtx 26095  Edgcedg 26160   WWalksN cwwlksn 26954  ClWWalkscclwwlk 27131   ClWWalksN cclwwlkn 27174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-substr 13499  df-wwlks 26958  df-wwlksn 26959  df-clwwlk 27132  df-clwwlkn 27176 This theorem is referenced by:  clwwnrepclwwn  27528
 Copyright terms: Public domain W3C validator