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Theorem clwlkclwwlklem3 26967
Description: Lemma 3 for clwlkclwwlk 26968. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem3 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkclwwlklem3
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1𝑅)
2 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
32adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
41, 3anim12i 589 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑓 ∈ Word dom 𝐸))
5 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
6 simpl2 1085 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)
75, 6anim12ci 590 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)))
8 simp3 1083 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
98anim1i 591 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))
11 clwlkclwwlklem2 26966 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑓 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
124, 7, 10, 11syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
13 lencl 13356 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
14 lencl 13356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝑓) ∈ ℕ0)
15 ffz0hash 13269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1))
16 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑓) + 1) − 1))
1716oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0))
18 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (#‘𝑓) ∈ ℂ)
19 peano2cn 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑓) ∈ ℂ → ((#‘𝑓) + 1) ∈ ℂ)
20 peano2cnm 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑓) + 1) ∈ ℂ → (((#‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
2221subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (((#‘𝑓) + 1) − 1))
23 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2418, 23pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 1) = (#‘𝑓))
2522, 24eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2717, 26sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2827oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑓) − 1))
2928oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑓) − 1)))
3029raleqdv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
31 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑃) − 2) = (((#‘𝑓) + 1) − 2))
32 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3318, 32, 23subsub3d 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) − (2 − 1)) = (((#‘𝑓) + 1) − 2))
34 2m1e1 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 − 1) = 1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
3635oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) − (2 − 1)) = ((#‘𝑓) − 1))
3733, 36eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑓) + 1) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
3931, 38sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((#‘𝑃) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
4039fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘((#‘𝑓) − 1)))
4140preq1d 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)})
4241eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
4330, 42anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4443anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
45 3anass 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4644, 45syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4746expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
4847expd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
4915, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
5049ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
5214, 14, 51sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
5352imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
54533adant3 1101 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5554adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5613, 55syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
57563ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5857imp 444 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5912, 58mpbird 247 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
6059ex 449 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6160exlimdv 1901 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
62 clwlkclwwlklem1 26965 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6361, 62impbid 202 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  {cpr 4212   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  2c2 11108  0cn0 11330  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk  26968
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