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Theorem clwlkclwwlklem2fv2 26962
Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 26964. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
21a1i 11 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))))
3 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2))
4 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
5 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
64, 5jctir 560 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113, 10eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1211ex 449 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
13 zre 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
14 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
15 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19 lttri3 10159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
2013, 18, 19syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
21 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2220, 21syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
2322ex 449 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2412, 23syld 47 . . . . . . 7 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2524com13 88 . . . . . 6 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2625pm2.43i 52 . . . . 5 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
2726impcom 445 . . . 4 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2827iffalsed 4130 . . 3 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))
29 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
3029adantl 481 . . . . 5 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
3130preq1d 4306 . . . 4 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
3231fveq2d 6233 . . 3 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
3328, 32eqtrd 2685 . 2 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
346adantr 480 . . . . 5 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
3534, 7syl 17 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
3614, 16subge0d 10655 . . . . 5 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
3736biimpar 501 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
38 elnn0z 11428 . . . 4 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
3935, 37, 38sylanbrc 699 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
40 nn0ge2m1nn 11398 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
41 1red 10093 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
4215a1i 11 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
4314adantr 480 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
44 1lt2 11232 . . . . 5 1 < 2
4544a1i 11 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 < 2)
4641, 42, 43, 45ltsub2dd 10678 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1))
47 elfzo0 12548 . . 3 (((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1)))
4839, 40, 46, 47syl3anbrc 1265 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
49 fvexd 6241 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
502, 33, 48, 49fvmptd 6327 1 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  ifcif 4119  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  ..^cfzo 12504  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  26963
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