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Theorem clwlkclwwlklem2a4 26879
Description: Lemma 4 for clwlkclwwlklem2a 26880. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a4 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a4
StepHypRef Expression
1 fveq2 6178 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)))
2 lencl 13307 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 clwlkclwwlklem2.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
43clwlkclwwlklem2fv2 26878 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
52, 4sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
61, 5sylan9eqr 2676 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
76ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
873adant1 1077 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
98ad2antrr 761 . . . . . 6 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
109impcom 446 . . . . 5 ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
1110fveq2d 6182 . . . 4 ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
12 f1f1orn 6135 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
13123ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
1413ad2antrr 761 . . . . 5 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
15 lsw 13334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
1615eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)))
17 nn0cn 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
19 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
20 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2118, 19, 20subsubd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
22 2m1e1 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 − 1) = 1
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
2423oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = ((#‘𝑃) − 1))
2521, 24eqtr3d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
262, 17, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
2827fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
29 eqeq2 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
3029eqcoms 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
3228, 31mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
3332ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3416, 33sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
35343ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3837impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
4039preq2d 4266 . . . . . . . . . 10 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
41 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃𝐼) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
42 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
4342fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
4441, 43preq12d 4267 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
4544eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
4645adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
4740, 46mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
4847eleq1d 2684 . . . . . . . 8 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
4948biimpd 219 . . . . . . 7 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5049impancom 456 . . . . . 6 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5150impcom 446 . . . . 5 ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
52 f1ocnvfv2 6518 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
5314, 51, 52syl2an2 874 . . . 4 ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
54 eqcom 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
5554biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
56 1e2m1 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (2 − 1)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
5857oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
592, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
60 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
61 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
6259, 60, 61subsubd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
6358, 62eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
6463fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
6555, 64sylan9eqr 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
6665ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
6716, 66sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
6867imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
6968preq2d 4266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
7144adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
7270, 71eqtr4d 2657 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
7372exp31 629 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
74733ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
7574com12 32 . . . . . . . 8 (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
7675adantr 481 . . . . . . 7 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
7776impcom 446 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
7877adantr 481 . . . . 5 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
7978impcom 446 . . . 4 ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
8011, 53, 793eqtrd 2658 . . 3 ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
81 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
82 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = (2 − 1))
8382, 22syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = 1)
8483oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) = 2 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^1))
8584eleq2d 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^1)))
86 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = (2 − 2))
87 2cn 11076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℂ
8887subidi 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 − 2) = 0
8986, 88syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = 0)
9089eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 = 0))
9190notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) = 2 → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = 0))
9285, 91anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0)))
93 elsni 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
9493pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ {0} → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
95 fzo01 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0..^1) = {0}
9694, 95eleq2s 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^1) → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
9796imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
9892, 97syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
9998adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
100 df-ne 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) ≠ 2 ↔ ¬ (#‘𝑃) = 2)
101 2re 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
103 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
105 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
106102, 104, 105leltned 10175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) ↔ (#‘𝑃) ≠ 2))
107 elfzo0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)))
108 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
109 nn0z 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
110 2z 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 ∈ ℤ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
112109, 111zsubcld 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
114101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
115114, 103posdifd 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 < (#‘𝑃) ↔ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
116115biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 < (#‘𝑃)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2))
117 elnnz 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
118113, 116, 117sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
119118ad5ant24 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
120 nn0z 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
121 peano2zm 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
122109, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
123 zltlem1 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
124120, 122, 123syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
12517adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
126 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
127125, 126, 126subsub4d 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
128 1p1e2 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (1 + 1) = 2
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) = 2)
130129oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑃) − (1 + 1)) = ((#‘𝑃) − 2))
131127, 130eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
132131breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
133124, 132bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
134 necom 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2))
135 df-ne 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))
136134, 135bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼)
137 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
138137ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ∈ ℝ)
139103, 114resubcld 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
140139ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
141 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
142 leltne 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼))
143142bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
144138, 140, 141, 143syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
145144biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
146136, 145syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
147146ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
148133, 147sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
149148com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
150149imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
151150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
152151imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
153108, 119, 1523jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
154153ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
155154exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
156155com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
157156imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
1581573adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
159107, 158sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
160159imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
161160com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
162161adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
163106, 162sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ≠ 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
164100, 163syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
165164com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
166165imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
167166com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
16899, 167pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
169 elfzo0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
170168, 169sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))
17181, 170jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
172171exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
1732, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
174173imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
1751743adant1 1077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
176175expd 452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
177176com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
178177adantl 482 . . . . . . . . 9 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
179178impcom 446 . . . . . . . 8 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
180179adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
181180impcom 446 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
1823clwlkclwwlklem2fv1 26877 . . . . . 6 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
183181, 182syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
184183fveq2d 6182 . . . 4 ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
185 simprr 795 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)
186 f1ocnvfv2 6518 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
18714, 185, 186syl2an2 874 . . . 4 ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
188184, 187eqtrd 2654 . . 3 ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
18980, 188pm2.61ian 830 . 2 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
190189exp31 629 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  ifcif 4077  {csn 4168  {cpr 4170   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  1-1wf1 5873  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Word cword 13274   lastS clsw 13275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a  26880
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