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Theorem clwlkclwwlklem2a1 26958
Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 26964. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑃,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1
StepHypRef Expression
1 lencl 13356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
2 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
3 peano2cnm 10385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
43subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
54oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
6 sub1m1 11322 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
75, 6eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
81, 2, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
109oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑃) − 2)))
1110raleqdv 3174 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1211biimpcd 239 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1413adantl 481 . . . . 5 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1514impcom 445 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
16 lsw 13384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
17 2m1e1 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 − 1) = 1
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 − 1) = 1)
1918eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
2019oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
211, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
22 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
23 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
2421, 22, 23subsubd 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
2520, 24eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
2625fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
2716, 26eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
30 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
3229, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
3332preq2d 4307 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
3433eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
3534biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
3635ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3736com13 88 . . . . . . 7 ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3837adantl 481 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3938impcom 445 . . . . 5 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
4039impcom 445 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
41 ovexd 6720 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ V)
42 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
43 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
4443fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
4542, 44preq12d 4308 . . . . . . 7 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
4645eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
4746ralunsn 4454 . . . . 5 (((#‘𝑃) − 2) ∈ V → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4841, 47syl 17 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4915, 40, 48mpbir2and 977 . . 3 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
50 1e2m1 11174 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
5251oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
5352, 24eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
5453oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
5554adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
56 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
57 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5956, 58subge0d 10655 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
6059biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
61 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
62 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
6461, 63zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
6560, 64jctild 565 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
661, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
6766imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
68 elnn0z 11428 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
6967, 68sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
70 elnn0uz 11763 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ‘0))
7169, 70sylib 208 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ‘0))
72 fzosplitsn 12616 . . . . . . 7 (((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ‘0) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7455, 73eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7574adantr 480 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7675raleqdv 3174 . . 3 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7749, 76mpbird 247 . 2 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
7877ex 449 1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
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This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a  26964
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