clwlkclwwlklem2a1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a1 26958

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 26964. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a1	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑖)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
2		nn0cn 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 10385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
4	3	subid1d 10419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
5	4	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
6		sub1m1 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
7	5, 6	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
8	1, 2, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
10	9	oveq2d 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑃) − 2)))
11	10	raleqdv 3174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
12	11	biimpcd 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
15	14	impcom 445	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
16		lsw 13384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
17		2m1e1 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 − 1) = 1
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 − 1) = 1)
19	18	eqcomd 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
20	19	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
21	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
22		2cnd 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
23		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	subsubd 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
25	20, 24	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
26	25	fveq2d 6233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
27	16, 26	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
30		eqeq1 2655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
32	29, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
33	32	preq2d 4307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
34	33	eleq1d 2715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
35	34	biimpd 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
36	35	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
37	36	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
38	37	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
39	38	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
40	39	impcom 445	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
41		ovexd 6720	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ V)
42		fveq2 6229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
43		oveq1 6697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
44	43	fveq2d 6233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
45	42, 44	preq12d 4308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
46	45	eleq1d 2715	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
47	46	ralunsn 4454	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ V → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
48	41, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
49	15, 40, 48	mpbir2and 977	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
50		1e2m1 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
52	51	oveq2d 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
53	52, 24	eqtrd 2685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
54	53	oveq2d 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
55	54	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
56		nn0re 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
57		2re 11128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
59	56, 58	subge0d 10655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
60	59	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
61		nn0z 11438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
62		2z 11447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
64	61, 63	zsubcld 11525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
65	60, 64	jctild 565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
67	66	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
68		elnn0z 11428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
69	67, 68	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀)
70		elnn0uz 11763	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
71	69, 70	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
72		fzosplitsn 12616	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
74	55, 73	eqtrd 2685	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
75	74	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
76	75	raleqdv 3174	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
77	49, 76	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
78	77	ex 449	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 383 = wceq 1523 ∈ wcel 2030 ∀wral 2941 Vcvv 3231 ∪ cun 3605 {csn 4210 {cpr 4212 class class class wbr 4685 ran crn 5144 ‘cfv 5926 (class class class)co 6690 ℂcc 9972 ℝcr 9973 0cc0 9974 1c1 9975 + caddc 9977 ≤ cle 10113 − cmin 10304 2c2 11108 ℕ₀cn0 11330 ℤcz 11415 ℤ_≥cuz 11725 ..^cfzo 12504 #chash 13157 Word cword 13323 lastS clsw 13324

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1762 ax-4 1777 ax-5 1879 ax-6 1945 ax-7 1981 ax-8 2032 ax-9 2039 ax-10 2059 ax-11 2074 ax-12 2087 ax-13 2282 ax-ext 2631 ax-rep 4804 ax-sep 4814 ax-nul 4822 ax-pow 4873 ax-pr 4936 ax-un 6991 ax-cnex 10030 ax-resscn 10031 ax-1cn 10032 ax-icn 10033 ax-addcl 10034 ax-addrcl 10035 ax-mulcl 10036 ax-mulrcl 10037 ax-mulcom 10038 ax-addass 10039 ax-mulass 10040 ax-distr 10041 ax-i2m1 10042 ax-1ne0 10043 ax-1rid 10044 ax-rnegex 10045 ax-rrecex 10046 ax-cnre 10047 ax-pre-lttri 10048 ax-pre-lttrn 10049 ax-pre-ltadd 10050 ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 384 df-an 385 df-3or 1055 df-3an 1056 df-tru 1526 df-ex 1745 df-nf 1750 df-sb 1938 df-eu 2502 df-mo 2503 df-clab 2638 df-cleq 2644 df-clel 2647 df-nfc 2782 df-ne 2824 df-nel 2927 df-ral 2946 df-rex 2947 df-reu 2948 df-rab 2950 df-v 3233 df-sbc 3469 df-csb 3567 df-dif 3610 df-un 3612 df-in 3614 df-ss 3621 df-pss 3623 df-nul 3949 df-if 4120 df-pw 4193 df-sn 4211 df-pr 4213 df-tp 4215 df-op 4217 df-uni 4469 df-int 4508 df-iun 4554 df-br 4686 df-opab 4746 df-mpt 4763 df-tr 4786 df-id 5053 df-eprel 5058 df-po 5064 df-so 5065 df-fr 5102 df-we 5104 df-xp 5149 df-rel 5150 df-cnv 5151 df-co 5152 df-dm 5153 df-rn 5154 df-res 5155 df-ima 5156 df-pred 5718 df-ord 5764 df-on 5765 df-lim 5766 df-suc 5767 df-iota 5889 df-fun 5928 df-fn 5929 df-f 5930 df-f1 5931 df-fo 5932 df-f1o 5933 df-fv 5934 df-riota 6651 df-ov 6693 df-oprab 6694 df-mpt2 6695 df-om 7108 df-1st 7210 df-2nd 7211 df-wrecs 7452 df-recs 7513 df-rdg 7551 df-1o 7605 df-oadd 7609 df-er 7787 df-en 7998 df-dom 7999 df-sdom 8000 df-fin 8001 df-card 8803 df-pnf 10114 df-mnf 10115 df-xr 10116 df-ltxr 10117 df-le 10118 df-sub 10306 df-neg 10307 df-nn 11059 df-2 11117 df-n0 11331 df-z 11416 df-uz 11726 df-fz 12365 df-fzo 12505 df-hash 13158 df-word 13331 df-lsw 13332

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 26964

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