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Theorem clwlkclwwlklem2 26966
 Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 26968. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝐹

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2
StepHypRef Expression
1 f1fn 6140 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸 Fn dom 𝐸)
2 dffn3 6092 . . . 4 (𝐸 Fn dom 𝐸𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
31, 2sylib 208 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4 lencl 13356 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)))
6 fnfz0hash 13268 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃 Fn (0...(#‘𝐹))) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
74, 5, 6syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
8 ffz0iswrd 13364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ Word 𝑉)
9 lsw 13384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
109ad6antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
11 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1211fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
1312ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
14 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
15 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
16 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1715, 16pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = (#‘𝐹))
1817eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1918ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
2019fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
2120eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2221biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2314, 22syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2423adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2524imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
2610, 13, 253eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0))
27 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
28 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
30 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
3130lem1d 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹))
32 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)) ↔ (((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹)))
3329, 27, 31, 32syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)))
3433ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)))
35 fzoss2 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
36 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
40 wrdf 13342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
42 fzossrbm1 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4327, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4544sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
4641, 45ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
4746exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4840, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
5049imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5150ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
5339, 52ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸)
54 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5554biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5655eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
5753, 56syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5857ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5937, 58syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6160impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
62 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
64 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
66 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6765, 66, 30lesubaddd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
68 2m1e1 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 − 1) = 1
6968breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 1 ≤ (#‘𝐹))
70 elnnnn0c 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)))
7170simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7269, 71syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7367, 72sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7663, 75sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7776imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
79 lbfzo0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
8078, 79sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
81 fzoend 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
83 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
8483fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
85 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)))
86 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝐹) − 1) + 1))
8786fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)))
8885, 87preq12d 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))})
8984, 88eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9182, 90rspcdv 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9215, 16npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
9392ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
9493fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
9594preq2d 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
9695eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))}))
9740ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
9873com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
9962, 98syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
10099com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
102101imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
103102, 79sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
104103, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
10597, 104ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
10738, 106ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
108 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
109108biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
110109eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
111107, 110syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
11296, 111sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
11391, 112syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115114impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
116 preq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
117116eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
120115, 119mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
12126, 61, 1203jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
122121exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
123122exp41 637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1248, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
125124com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1264, 125mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
127126imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
1287, 127mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
129128expcom 450 . . . . . . . 8 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
130129com14 96 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
131130imp 444 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
132131com13 88 . . . . 5 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
133132imp 444 . . . 4 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
134133com12 32 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1353, 134sylan 487 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1361353imp 1275 1 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1→wf1 5923  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332 This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem3  26967  clwlksfclwwlk  27049
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