MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlkfolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlkfolem 27157
Description: Lemma for clwlkclwwlkfo 27159. (Contributed by AV, 25-May-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlkf.c 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ 1 ≤ (♯‘(1st𝑤))}
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlkfolem ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊) ∧ ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)) → ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ 𝐶)
Distinct variable group:   𝑤,𝐺,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑓)   𝑊(𝑤,𝑓)

Proof of Theorem clwlkclwwlkfolem
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1132 . 2 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊) ∧ ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)) → ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺))
2 wrdlenccats1lenm1 13603 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
32eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1))
43breq2d 4799 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (1 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 1 ≤ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)))
54biimpa 462 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1))
653adant3 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊) ∧ ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)) → 1 ≤ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1))
7 df-br 4788 . . . . 5 (𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺))
8 clwlkiswlk 26905 . . . . . 6 (𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → 𝑓(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
9 wlklenvm1 26752 . . . . . 6 (𝑓(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝑓) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝑓) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1))
117, 10sylbir 225 . . . 4 (⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺) → (♯‘𝑓) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1))
12113ad2ant3 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊) ∧ ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1))
136, 12breqtrrd 4815 . 2 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊) ∧ ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)) → 1 ≤ (♯‘𝑓))
14 vex 3354 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
15 ovex 6827 . . . . . 6 (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ V
1614, 15op1std 7329 . . . . 5 (𝑐 = ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ → (1st𝑐) = 𝑓)
1716fveq2d 6337 . . . 4 (𝑐 = ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ → (♯‘(1st𝑐)) = (♯‘𝑓))
1817breq2d 4799 . . 3 (𝑐 = ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ → (1 ≤ (♯‘(1st𝑐)) ↔ 1 ≤ (♯‘𝑓)))
19 clwlkclwwlkf.c . . . 4 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ 1 ≤ (♯‘(1st𝑤))}
20 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑐 → (1st𝑤) = (1st𝑐))
2120fveq2d 6337 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑐 → (♯‘(1st𝑤)) = (♯‘(1st𝑐)))
2221breq2d 4799 . . . . 5 (𝑤 = 𝑐 → (1 ≤ (♯‘(1st𝑤)) ↔ 1 ≤ (♯‘(1st𝑐))))
2322cbvrabv 3349 . . . 4 {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ 1 ≤ (♯‘(1st𝑤))} = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ 1 ≤ (♯‘(1st𝑐))}
2419, 23eqtri 2793 . . 3 𝐶 = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ 1 ≤ (♯‘(1st𝑐))}
2518, 24elrab2 3518 . 2 (⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ 𝐶 ↔ (⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑓)))
261, 13, 25sylanbrc 572 1 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊) ∧ ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)) → ⟨𝑓, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  cop 4323   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  1st c1st 7317  0cc0 10142  1c1 10143  cle 10281  cmin 10472  chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  Vtxcvtx 26095  Walkscwlks 26727  ClWalkscclwlks 26901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-wlks 26730  df-clwlks 26902
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlkfo  27159
  Copyright terms: Public domain W3C validator