Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlk2 26885
 Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2
StepHypRef Expression
1 lswccats1fst 13394 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
213adant1 1077 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
32biantrurd 529 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
4 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
5 wrdsymb1 13325 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
6 wrdlenccats1lenm1 13382 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1))
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) = ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1))
87eqcomd 2626 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (#‘𝑃))
98opeq2d 4400 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩ = ⟨0, (#‘𝑃)⟩)
109oveq2d 6651 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩))
115s1cld 13366 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
12 eqidd 2621 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) = (#‘𝑃))
13 swrdccatid 13478 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩) = 𝑃)
144, 11, 12, 13syl3anc 1324 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩) = 𝑃)
1510, 14eqtr2d 2655 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩))
16153adant1 1077 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩))
1716eleq1d 2684 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
18 simp1 1059 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐺 ∈ USPGraph )
19 simp2 1060 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
20113adant1 1077 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
21 ccatcl 13342 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
2219, 20, 21syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
23 lencl 13307 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
24 1e2m1 11121 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
2625breq1d 4654 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ (2 − 1) ≤ (#‘𝑃)))
27 2re 11075 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
29 1red 10040 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
30 nn0re 11286 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
3128, 29, 30lesubaddd 10609 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3226, 31bitrd 268 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3323, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3433biimpa 501 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1))
35 s1len 13368 . . . . . . 7 (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
3635oveq2i 6646 . . . . . 6 ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + 1)
3734, 36syl6breqr 4686 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
38373adant1 1077 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
394, 11jca 554 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
40393adant1 1077 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
41 ccatlen 13343 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
4240, 41syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
4338, 42breqtrrd 4672 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
44 clwlkclwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
45 clwlkclwwlk.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4644, 45clwlkclwwlk 26884 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩))) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
4718, 22, 43, 46syl3anc 1324 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
483, 17, 473bitr4rd 301 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481  ∃wex 1702   ∈ wcel 1988  ⟨cop 4174   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℝcr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   ≤ cle 10060   − cmin 10251  2c2 11055  ℕ0cn0 11277  #chash 13100  Word cword 13274   lastS clsw 13275   ++ cconcat 13276  ⟨“cs1 13277   substr csubstr 13278  Vtxcvtx 25855  iEdgciedg 25856   USPGraph cuspgr 26024  ClWalkscclwlks 26647  ClWWalkscclwwlks 26856 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283  df-concat 13284  df-s1 13285  df-substr 13286  df-edg 25921  df-uhgr 25934  df-upgr 25958  df-uspgr 26026  df-wlks 26476  df-clwlks 26648  df-clwwlks 26858 This theorem is referenced by:  clwlksfoclwwlk  26943
 Copyright terms: Public domain W3C validator