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Theorem clwlkclwwlk 27046
Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlk.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
21uspgrf1oedg 26188 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3 f1of1 6249 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
5 clwlkclwwlklem3 27045 . . . 4 ((𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
64, 5syl3an1 1472 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7 lencl 13431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 ige2m1fz 12544 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
97, 8sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
10 swrd0len 13542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = ((♯‘𝑃) − 1))
119, 10syldan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = ((♯‘𝑃) − 1))
127nn0cnd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
13 1cnd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
1514subid1d 10494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
1615eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1811, 17eqtrd 2758 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1918oveq1d 6780 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
2019oveq2d 6781 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
2111oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
2221oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
2322eleq2d 2789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))))
24 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25 wrdlenge2n0 13449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27 nn0z 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
28 peano2zm 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32 elfzom1elfzo 12651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3331, 32sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
34 swrdtrcfv 13562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
3524, 26, 33, 34syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
367adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
37 elfzom1elp1fzo 12650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3829, 37sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3936, 38sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
40 swrdtrcfv 13562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4124, 26, 39, 40syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4235, 41preq12d 4383 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
4342eleq1d 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4443ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4523, 44sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4645imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4720, 46raleqbidva 3257 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48 swrdtrcfvl 13571 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
49 swrdtrcfv0 13563 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0) = (𝑃‘0))
5048, 49preq12d 4383 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
5150eleq1d 2788 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5247, 51anbi12d 749 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5352bicomd 213 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54533adant1 1122 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55 swrdcl 13539 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
56553ad2ant2 1126 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
57563biant1d 1554 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5854, 57bitrd 268 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5958anbi2d 742 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
606, 59bitrd 268 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61 uspgrupgr 26191 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
62 clwlkclwwlk.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6362, 1isclwlkupgr 26805 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))))
64 3an4anass 1416 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6563, 64syl6bbr 278 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6661, 65syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6766adantr 472 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6867exbidv 1963 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
69683adant3 1124 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
70 eqid 2724 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7162, 70isclwwlk 27028 . . . . 5 ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73 nn0ge2m1nn 11473 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
747, 73sylan 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75 nn0re 11414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
7675lem1d 11070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
7776a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
787, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
7978imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
8072, 74, 793jca 1379 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
81803adant1 1122 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
82 swrdn0 13551 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8483biantrud 529 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)))
8584bicomd 213 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
86853anbi1d 1516 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
8771, 86syl5bb 272 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88 biid 251 . . . . 5 ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
89 edgval 26061 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
901eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = 𝐸
9190rneqi 5459 . . . . . . . 8 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
9289, 91eqtri 2746 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
9392eleq2i 2795 . . . . . 6 ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9493ralbii 3082 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9592eleq2i 2795 . . . . 5 ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
9688, 94, 953anbi123i 1388 . . . 4 (((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
9787, 96syl6bb 276 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
9897anbi2d 742 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
9960, 69, 983bitr4d 300 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  c0 4023  {cpr 4287  cop 4291   class class class wbr 4760  dom cdm 5218  ran crn 5219  wf 5997  1-1wf1 5998  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  cle 10188  cmin 10379  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398   lastS clsw 13399   substr csubstr 13402  Vtxcvtx 25994  iEdgciedg 25995  Edgcedg 26059  UPGraphcupgr 26095  USPGraphcuspgr 26163  ClWalkscclwlks 26797  ClWWalkscclwwlk 27025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-lsw 13407  df-substr 13410  df-edg 26060  df-uhgr 26073  df-upgr 26097  df-uspgr 26165  df-wlks 26626  df-clwlks 26798  df-clwwlk 27026
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk2  27047  clwlkclwwlkf  27052
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