Theorem clsss3 20911

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 20899	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 20881	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ∪ cuni 4468  ‘cfv 5926  Topctop 20746  Clsdccld 20868  clsccl 20870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-top 20747  df-cld 20871  df-cls 20873

This theorem is referenced by:  clsidm  20919  elcls2  20926  clsndisj  20927  ntrcls0  20928  neindisj  20969  lpval  20991  lpss  20994  clslp  21000  cnclsi  21124  cncls  21126  isnrm2  21210  lpcls  21216  perfcls  21217  regsep2  21228  clsconn  21281  conncompcld  21285  2ndcsep  21310  1stcelcls  21312  hausllycmp  21345  txcls  21455  ptclsg  21466  imasncls  21543  kqnrmlem1  21594  reghmph  21644  nrmhmph  21645  flimclslem  21835  flimsncls  21837  hauspwpwf1  21838  fclsopn  21865  fclscmpi  21880  cnextfun  21915  clssubg  21959  clsnsg  21960  snclseqg  21966  utop3cls  22102  qdensere  22620  clsocv  23095  relcmpcmet  23161  cncmet  23165  kur14lem3  31316  topbnd  32444  clsun  32448  opnregcld  32450  cldregopn  32451  heibor1lem  33738  qndenserrn  40837