Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsocv 23095
 Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clsocv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clsocv.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
clsocv.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
clsocv ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂𝑆))

Proof of Theorem clsocv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphngp 23019 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2 ngptps 22453 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ TopSp)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ TopSp)
5 clsocv.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 clsocv.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
75, 6istps 20786 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
84, 7sylib 208 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
9 topontop 20766 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
11 simpr 476 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
12 toponuni 20767 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉) → 𝑉 = 𝐽)
138, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑉 = 𝐽)
1411, 13sseqtrd 3674 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 𝐽)
15 eqid 2651 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
1615sscls 20908 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
1710, 14, 16syl2anc 694 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
18 clsocv.o . . . 4 𝑂 = (ocv‘𝑊)
1918ocv2ss 20065 . . 3 (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂𝑆))
2017, 19syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ⊆ (𝑂𝑆))
2115clsss3 20911 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
2210, 14, 21syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
2322, 13sseqtr4d 3675 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
2423adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉)
255, 18ocvss 20062 . . . . . . 7 (𝑂𝑆) ⊆ 𝑉
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂𝑆) ⊆ 𝑉)
2726sselda 3636 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑥𝑉)
28 df-ss 3621 . . . . . . . . . . . 12 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉 ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
2924, 28sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) = ((cls‘𝐽)‘𝑆))
3029ineq1d 3846 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
31 dfrab3 3935 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3231ineq2i 3844 . . . . . . . . . . 11 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
33 inass 3856 . . . . . . . . . . 11 ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (𝑉 ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
3432, 33eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑉) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
35 dfrab3 3935 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3630, 34, 353eqtr4g 2710 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3715clscld 20899 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3810, 14, 37syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
40 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
41 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) = (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
4241mptiniseg 5667 . . . . . . . . . . . 12 ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
4340, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
44 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
46 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
478adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑉))
4847, 47, 27cnmptc 21513 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4947cnmptid 21512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
506, 44, 45, 46, 47, 48, 49cnmpt1ip 23092 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5144cnfldhaus 22635 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
52 cphclm 23035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
53 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5453clm0 22918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5655ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57 0cn 10070 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℂ
5856, 57syl6eqelr 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
5944cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6059toponunii 20769 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
6160sncld 21223 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
6251, 58, 61sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
63 cnclima 21120 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6450, 62, 63syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6543, 64syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
66 incld 20895 . . . . . . . . . 10 ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6739, 65, 66syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ {𝑦𝑉 ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
6836, 67eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
6917adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
70 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
715, 45, 53, 70, 18ocvi 20061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑂𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7271ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑂𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7372adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
74 ssrab 3713 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7569, 73, 74sylanbrc 699 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7615clsss2 20924 . . . . . . . 8 (({𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7768, 75, 76syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
78 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆)
7978a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
8077, 79eqssd 3653 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
81 rabid2 3148 . . . . . 6 (((cls‘𝐽)‘𝑆) = {𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8280, 81sylib 208 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
835, 45, 53, 70, 18elocv 20060 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑉𝑥𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8424, 27, 82, 83syl3anbrc 1265 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)))
8584ex 449 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑂𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆))))
8685ssrdv 3642 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂𝑆) ⊆ (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)))
8720, 86eqssd 3653 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑂‘((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑂𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ∪ cuni 4468   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142   “ cima 5146  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991  ·𝑖cip 15993  TopOpenctopn 16129  0gc0g 16147  ℂfldccnfld 19794  ocvcocv 20052  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  TopSpctps 20784  Clsdccld 20868  clsccl 20870   Cn ccn 21076  Hauscha 21160  NrmGrpcngp 22429  ℂModcclm 22908  ℂPreHilccph 23012 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-phl 20019  df-ipf 20020  df-ocv 20055  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-cls 20873  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-tng 22436  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014  df-tch 23015 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator