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Theorem clsk3nimkb 38655
Description: If the base set is not empty, axiom K3 does not imply KB. An concrete example with a pseudo-closure function of 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)) is given. (Contributed by RP, 16-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
clsk3nimkb ¬ ∀𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏))
Distinct variable group:   𝑘,𝑏,𝑡,𝑠

Proof of Theorem clsk3nimkb
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7612 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
21elexi 3244 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
3 1n0 7620 . . . . . 6 1𝑜 ≠ ∅
4 nelsn 4245 . . . . . 6 (1𝑜 ≠ ∅ → ¬ 1𝑜 ∈ {∅})
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1𝑜 ∈ {∅}
6 eldif 3617 . . . . . 6 (1𝑜 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (1𝑜 ∈ V ∧ ¬ 1𝑜 ∈ {∅}))
7 ne0i 3954 . . . . . 6 (1𝑜 ∈ (V ∖ {∅}) → (V ∖ {∅}) ≠ ∅)
86, 7sylbir 225 . . . . 5 ((1𝑜 ∈ V ∧ ¬ 1𝑜 ∈ {∅}) → (V ∖ {∅}) ≠ ∅)
92, 5, 8mp2an 708 . . . 4 (V ∖ {∅}) ≠ ∅
10 r19.2zb 4094 . . . 4 ((V ∖ {∅}) ≠ ∅ ↔ (∀𝑏 ∈ (V ∖ {∅})∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ (V ∖ {∅})∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏))))
119, 10mpbi 220 . . 3 (∀𝑏 ∈ (V ∖ {∅})∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ (V ∖ {∅})∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
12 rexex 3031 . . 3 (∃𝑏 ∈ (V ∖ {∅})∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) → ∃𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
13 rexanali 3027 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
1413exbii 1814 . . . 4 (∃𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) ↔ ∃𝑏 ¬ ∀𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
15 exnal 1794 . . . 4 (∃𝑏 ¬ ∀𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
1614, 15sylbb 209 . . 3 (∃𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) → ¬ ∀𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
1711, 12, 163syl 18 . 2 (∀𝑏 ∈ (V ∖ {∅})∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) → ¬ ∀𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
18 id 22 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → 𝑏 ∈ (V ∖ {∅}))
19 difssd 3771 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → (𝑏𝑥) ⊆ 𝑏)
2018, 19sselpwd 4840 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → (𝑏𝑥) ∈ 𝒫 𝑏)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑏𝑥) ∈ 𝒫 𝑏)
22 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))
2321, 22fmptd 6425 . . . 4 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)):𝒫 𝑏⟶𝒫 𝑏)
24 pwexg 4880 . . . . 5 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → 𝒫 𝑏 ∈ V)
2524, 24elmapd 7913 . . . 4 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)) ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)):𝒫 𝑏⟶𝒫 𝑏))
2623, 25mpbird 247 . . 3 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)) ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏))
27 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)))
28 difeq2 3755 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑏𝑥) = (𝑏𝑧))
2928cbvmptv 4783 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑧))
3027, 29syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → 𝑘 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑧)))
31 difeq2 3755 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑠𝑡) → (𝑏𝑧) = (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)))
3231adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑧 = (𝑠𝑡)) → (𝑏𝑧) = (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)))
33 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → 𝑏 ∈ (V ∖ {∅}))
34 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏)
3534elpwid 4203 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → 𝑠𝑏)
36 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏)
3736elpwid 4203 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → 𝑡𝑏)
3835, 37unssd 3822 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑠𝑡) ⊆ 𝑏)
3933, 38sselpwd 4840 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑠𝑡) ∈ 𝒫 𝑏)
40 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
4140difexi 4842 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ∈ V)
4330, 32, 39, 42fvmptd 6327 . . . . . . 7 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑘‘(𝑠𝑡)) = (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)))
44 difeq2 3755 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑠 → (𝑏𝑧) = (𝑏𝑠))
4544adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑠) → (𝑏𝑧) = (𝑏𝑠))
4640difexi 4842 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝑠) ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑏𝑠) ∈ V)
4830, 45, 34, 47fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑘𝑠) = (𝑏𝑠))
49 difeq2 3755 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑡 → (𝑏𝑧) = (𝑏𝑡))
5049adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑡) → (𝑏𝑧) = (𝑏𝑡))
5140difexi 4842 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝑡) ∈ V
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑏𝑡) ∈ V)
5330, 50, 36, 52fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (𝑘𝑡) = (𝑏𝑡))
5448, 53uneq12d 3801 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = ((𝑏𝑠) ∪ (𝑏𝑡)))
55 difindi 3914 . . . . . . . 8 (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = ((𝑏𝑠) ∪ (𝑏𝑡))
5654, 55syl6eqr 2703 . . . . . . 7 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)))
5743, 56sseq12d 3667 . . . . . 6 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → ((𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ↔ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡))))
5857ralbidva 3014 . . . . 5 (((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡))))
5958ralbidva 3014 . . . 4 ((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡))))
6056eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
6160imbi2d 329 . . . . . . 7 ((((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑏) → (((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏) ↔ ((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏)))
6261ralbidva 3014 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏)))
6362ralbidva 3014 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏)))
6463notbid 307 . . . 4 ((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) → (¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏)))
6559, 64anbi12d 747 . . 3 ((𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) ∧ 𝑘 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏𝑥))) → ((∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)) ↔ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))))
66 pwidg 4206 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑏)
67 ssid 3657 . . . . . . 7 𝑏𝑏
6867a1i 11 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → 𝑏𝑏)
69 eldifsni 4353 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → 𝑏 ≠ ∅)
7069neneqd 2828 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → ¬ 𝑏 = ∅)
71 uneq1 3793 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑏 → (𝑠𝑡) = (𝑏𝑡))
7271eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑏 → ((𝑠𝑡) = 𝑏 ↔ (𝑏𝑡) = 𝑏))
73 ssequn2 3819 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑏 ↔ (𝑏𝑡) = 𝑏)
7472, 73syl6bbr 278 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑏 → ((𝑠𝑡) = 𝑏𝑡𝑏))
75 ineq1 3840 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑏 → (𝑠𝑡) = (𝑏𝑡))
7675difeq2d 3761 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)))
7776eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑏 → ((𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = 𝑏))
7877notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑏 → (¬ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = 𝑏))
7974, 78anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑏 → (((𝑠𝑡) = 𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏) ↔ (𝑡𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = 𝑏)))
80 sseq1 3659 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑏 → (𝑡𝑏𝑏𝑏))
81 ineq2 3841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑏 → (𝑏𝑡) = (𝑏𝑏))
82 inidm 3855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑏) = 𝑏
8381, 82syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑏 → (𝑏𝑡) = 𝑏)
8483difeq2d 3761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = (𝑏𝑏))
85 difid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝑏) = ∅
8684, 85syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = ∅)
8786eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑏 → ((𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = 𝑏 ↔ ∅ = 𝑏))
88 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 (∅ = 𝑏𝑏 = ∅)
8987, 88syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑏 → ((𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = 𝑏𝑏 = ∅))
9089notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑏 → (¬ (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 = ∅))
9180, 90anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑏𝑡)) = 𝑏) ↔ (𝑏𝑏 ∧ ¬ 𝑏 = ∅)))
9279, 91rspc2ev 3355 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑏𝑏 ∈ 𝒫 𝑏 ∧ (𝑏𝑏 ∧ ¬ 𝑏 = ∅)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
9366, 66, 68, 70, 92syl112anc 1370 . . . . 5 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
94 rexanali 3027 . . . . . . 7 (∃𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏) ↔ ¬ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
9594rexbii 3070 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ¬ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
96 rexnal 3024 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ¬ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
9795, 96sylbb 209 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 ∧ ¬ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏) → ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
9893, 97syl 17 . . . 4 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏))
99 inss1 3866 . . . . . . 7 (𝑠𝑡) ⊆ 𝑠
100 ssun1 3809 . . . . . . 7 𝑠 ⊆ (𝑠𝑡)
10199, 100sstri 3645 . . . . . 6 (𝑠𝑡) ⊆ (𝑠𝑡)
102 sscon 3777 . . . . . 6 ((𝑠𝑡) ⊆ (𝑠𝑡) → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)))
103101, 102ax-mp 5 . . . . 5 (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡))
104103rgen2w 2954 . . . 4 𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡))
10598, 104jctil 559 . . 3 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → (𝑏 ∖ (𝑠𝑡)) = 𝑏)))
10626, 65, 105rspcedvd 3348 . 2 (𝑏 ∈ (V ∖ {∅}) → ∃𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) ∧ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏)))
10717, 106mprg 2955 1 ¬ ∀𝑏𝑘 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏)(∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏(𝑘‘(𝑠𝑡)) ⊆ ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑏𝑡 ∈ 𝒫 𝑏((𝑠𝑡) = 𝑏 → ((𝑘𝑠) ∪ (𝑘𝑡)) = 𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  cmpt 4762  Oncon0 5761  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  𝑚 cmap 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1o 7605  df-map 7901
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