MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvsubval 23127
Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 19127. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p + = (+g𝑊)
clmvsubval.m = (-g𝑊)
clmvsubval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvsubval ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem clmvsubval
StepHypRef Expression
1 clmlmod 23085 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2 clmvsubval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 clmvsubval.p . . . 4 + = (+g𝑊)
4 clmvsubval.m . . . 4 = (-g𝑊)
5 clmvsubval.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 clmvsubval.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2770 . . . 4 (invg𝐹) = (invg𝐹)
8 eqid 2770 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodvsubval2 19127 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)))
101, 9syl3an1 1165 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)))
115clm1 23091 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
1211eqcomd 2776 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → (1r𝐹) = 1)
1312fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = ((invg𝐹)‘1))
145clmring 23088 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
15 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1615, 8ringidcl 18775 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
1811, 17eqeltrd 2849 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
195, 15clmneg 23099 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg𝐹)‘1))
2018, 19mpdan 659 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg𝐹)‘1))
2113, 20eqtr4d 2807 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = -1)
22213ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = -1)
2322oveq1d 6807 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
2423oveq2d 6808 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2510, 24eqtrd 2804 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138  -cneg 10468  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  invgcminusg 17630  -gcsg 17631  1rcur 18708  Ringcrg 18754  LModclmod 19072  ℂModcclm 23080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cmn 18401  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-cnfld 19961  df-clm 23081
This theorem is referenced by:  clmvsubval2  23128  ncvsdif  23173  ncvspds  23179  cphipval  23260
  Copyright terms: Public domain W3C validator