Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvscom 23090
 Description: Commutative law for the scalar product. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvscl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvscl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvscl.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmvscl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
clmvscom ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmvscom
StepHypRef Expression
1 ssel 3738 . . . . . . . 8 (𝐾 ⊆ ℂ → (𝑄𝐾𝑄 ∈ ℂ))
2 ssel 3738 . . . . . . . 8 (𝐾 ⊆ ℂ → (𝑅𝐾𝑅 ∈ ℂ))
31, 2anim12d 587 . . . . . . 7 (𝐾 ⊆ ℂ → ((𝑄𝐾𝑅𝐾) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
4 clmvscl.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 clmvscl.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
64, 5clmsscn 23079 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
73, 6syl11 33 . . . . . 6 ((𝑄𝐾𝑅𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
873adant3 1127 . . . . 5 ((𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)))
98impcom 445 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
10 mulcom 10214 . . . 4 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑄))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑄))
1211oveq1d 6828 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋))
13 clmvscl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 clmvscl.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
1513, 4, 14, 5clmvsass 23089 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
16 3ancoma 1084 . . 3 ((𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉) ↔ (𝑅𝐾𝑄𝐾𝑋𝑉))
1713, 4, 14, 5clmvsass 23089 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑅𝐾𝑄𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
1816, 17sylan2b 493 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑄) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
1912, 15, 183eqtr3d 2802 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑄 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126   · cmul 10133  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  ℂModcclm 23062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-cnfld 19949  df-clm 23063 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator