MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clm1 23112
Description: The identity of the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
clm1 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))

Proof of Theorem clm1
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2774 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
31, 2clmsubrg 23105 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 eqid 2774 . . . 4 (ℂflds (Base‘𝐹)) = (ℂflds (Base‘𝐹))
5 cnfld1 20006 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
64, 5subrg1 19020 . . 3 ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 = (1r‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
73, 6syl 17 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
81, 2clmsca 23104 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
98fveq2d 6352 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod → (1r𝐹) = (1r‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
107, 9eqtr4d 2811 1 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1634  wcel 2148  cfv 6042  (class class class)co 6812  1c1 10160  Basecbs 16084  s cress 16085  Scalarcsca 16172  1rcur 18729  SubRingcsubrg 19006  fldccnfld 19981  ℂModcclm 23101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-addf 10238  ax-mulf 10239
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718  df-uz 11911  df-fz 12556  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-starv 16184  df-tset 16188  df-ple 16189  df-ds 16192  df-unif 16193  df-0g 16330  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-grp 17653  df-subg 17819  df-cmn 18422  df-mgp 18718  df-ur 18730  df-ring 18777  df-cring 18778  df-subrg 19008  df-cnfld 19982  df-clm 23102
This theorem is referenced by:  clmvs1  23132  clmvs2  23133  clmopfne  23135  clmvneg1  23138  clmvsubval  23148  cvsi  23169  cvsmuleqdivd  23173
  Copyright terms: Public domain W3C validator