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Theorem climxrrelem 40453
Description: If a seqence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrrelem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxrrelem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxrrelem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxrrelem.c (𝜑𝐹𝐴)
climxrrelem.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
climxrrelem.p ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
climxrrelem.n ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climxrrelem (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem climxrrelem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1980 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfv 1980 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
3 nfra1 3067 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
42, 3nfan 1965 . . . . 5 𝑘(𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
51, 4nfan 1965 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
6 climxrrelem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
76uztrn2 11868 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
87adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
9 climxrrelem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109fdmd 39888 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
1110ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
128, 11eleqtrrd 2830 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1312adantlrr 759 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
14 simpll 807 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
158adantlrr 759 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
16 rspa 3056 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1716adantll 752 . . . . . . 7 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1817adantll 752 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
199ffvelrnda 6510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
20193adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
21 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝜑)
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) = -∞)
23 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2422, 23eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
2524adantll 752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
26 climxrrelem.n . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2721, 25, 26syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2827adantlrr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
29 oveq1 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) = -∞ → ((𝐹𝑘) − 𝐴) = (-∞ − 𝐴))
3029fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = -∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
32 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
3331, 32eqbrtrrd 4816 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3433adantll 752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3534adantlrl 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
36 climxrrelem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹𝐴)
376fvexi 6351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑍 ∈ V)
399, 38fexd 39764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ∈ V)
40 eqidd 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4139, 40clim 14395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
4236, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
4342simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4443ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
4525, 44subcld 10555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (-∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
4645abscld 14345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
4746adantlrr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
48 climxrrelem.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
4948rpred 12036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5049ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
5147, 50ltnled 10347 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ((abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴))))
5235, 51mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
5328, 52pm2.65da 601 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
54533adant2 1123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
5554neqned 2927 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
56 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝜑)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) = +∞)
58 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5957, 58eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
6059adantll 752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
61 climxrrelem.p . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6256, 60, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6362adantlrr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
64 oveq1 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) = +∞ → ((𝐹𝑘) − 𝐴) = (+∞ − 𝐴))
6564fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = +∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
67 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
6866, 67eqbrtrrd 4816 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6968adantll 752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
7069adantlrl 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
7143ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
7260, 71subcld 10555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (+∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
7372abscld 14345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7473adantlrr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7549ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
7674, 75ltnled 10347 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ((abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴))))
7770, 76mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
7863, 77pm2.65da 601 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
79783adant2 1123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
8079neqned 2927 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
8120, 55, 80xrred 40048 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8214, 15, 18, 81syl3anc 1463 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8313, 82jca 555 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
845, 83ralrimia 39783 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
859ffund 6198 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
86 ffvresb 6545 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8785, 86syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8887adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8984, 88mpbird 247 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
90 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
9190anbi2d 742 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9291rexralbidv 3184 . . . 4 (𝑥 = 𝐷 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9342simprd 482 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
9492, 93, 48rspcdva 3443 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
95 climxrrelem.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
966rexuz3 14258 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9795, 96syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9894, 97mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
9989, 98reximddv 3144 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  Vcvv 3328   class class class wbr 4792  dom cdm 5254  cres 5256  Fun wfun 6031  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  +∞cpnf 10234  -∞cmnf 10235  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  cz 11540  cuz 11850  +crp 11996  abscabs 14144  cli 14385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389
This theorem is referenced by:  climxrre  40454
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