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Theorem climuni 14264
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem climuni
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 11392 . 2 1 ∈ ℤ
2 nnuz 11708 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 11393 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → 1 ∈ ℤ)
4 climcl 14211 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
543ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 climcl 14211 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵𝐵 ∈ ℂ)
763ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
85, 7subcld 10377 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
105, 7, 9subne0d 10386 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
118, 10absrpcld 14168 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
1211rphalfcld 11869 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
13 eqidd 2621 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → 𝐹𝐴)
152, 3, 12, 13, 14climi 14222 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
16 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → 𝐹𝐵)
172, 3, 12, 13, 16climi 14222 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
182rexanuz2 14070 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
1915, 17, 18sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
20 nnz 11384 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
21 uzid 11687 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
22 ne0i 3913 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
23 r19.2z 4051 . . . . . . . . . 10 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
2423ex 450 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑗) ≠ ∅ → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))))
2520, 21, 22, 244syl 19 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))))
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
27 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2826, 27abssubd 14173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))))
2928breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
30 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 subcl 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3332abscld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
34 abs3lem 14059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵))))
3527, 30, 26, 33, 34syl22anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵))))
3633ltnrd 10156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ¬ (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)))
3736pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
3835, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
3938expd 452 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
4029, 39sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
4140impr 648 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4241adantld 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4342expimpd 628 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4443rexlimdvw 3030 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4525, 44sylan9r 689 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4645rexlimdva 3027 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
475, 7, 46syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4819, 47mpd 15 . . . 4 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴𝐵) → ¬ 1 ∈ ℤ)
49483expia 1265 . . 3 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 1 ∈ ℤ))
5049necon4ad 2810 . 2 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → (1 ∈ ℤ → 𝐴 = 𝐵))
511, 50mpi 20 1 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  c0 3907   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  1c1 9922   < clt 10059  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  cz 11362  cuz 11672  abscabs 13955  cli 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200
This theorem is referenced by:  fclim  14265  climeu  14267  summolem2  14428  summo  14429  prodmolem2  14646  prodmo  14647  ef0  14802  efcj  14803  efaddlem  14804  ioombl1lem4  23310  mbflimlem  23415  itg2i1fseq  23503  itg2addlem  23506  plyeq0lem  23947  ulmuni  24127  leibpi  24650  lgamp1  24764  lgam1  24771  sumnnodd  39662  climfveq  39701  climfveqf  39712  climfv  39723  climlimsupcex  39795  climliminflimsupd  39827  stirlinglem15  40068  fouriersw  40211  sge0isum  40407  vonioolem2  40658  vonicclem2  40661
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