Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsuselem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsuselem1 40157
Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always larger or equal than the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuselem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsuselem1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
Assertion
Ref Expression
climsuselem1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuselem1.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eleq2i 2722 . . . 4 (𝐾𝑍𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
32biimpi 206 . . 3 (𝐾𝑍𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
43adantl 481 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
5 simpl 472 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝜑)
6 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝑀))
7 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
86, 7eleq12d 2724 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀)))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀))))
10 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝑘))
11 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑘))
1210, 11eleq12d 2724 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)))
1312imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))))
14 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
15 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑘 + 1)))
1614, 15eleq12d 2724 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝐾))
19 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝐾))
2018, 19eleq12d 2724 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾)))
2120imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))))
22 climsuselem1.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
2322, 1syl6eleq 2740 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
2423a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀)))
25 simpr 476 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
26 simpll 805 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
27 simplr 807 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)))
2825, 27mpd 15 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))
29 eluzelz 11735 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1103 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3130peano2zd 11523 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
3231zred 11520 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33 eluzelre 11736 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘) → (𝐼𝑘) ∈ ℝ)
34333ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼𝑘) ∈ ℝ)
35 1red 10093 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
3634, 35readdcld 10107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼𝑘) + 1) ∈ ℝ)
371eqimss2i 3693 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍)
3938sseld 3635 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍))
4039imdistani 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝜑𝑘𝑍))
41 climsuselem1.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
43423adant3 1101 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
44 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
4645zred 11520 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4730zred 11520 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
48 eluzle 11738 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼𝑘))
49483ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼𝑘))
5047, 34, 35, 49leadd1dd 10679 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼𝑘) + 1))
51 eluzle 11738 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) → ((𝐼𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
5243, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
5332, 36, 46, 50, 52letrd 10232 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
54 eluz 11739 . . . . . . 7 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
5531, 45, 54syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
5653, 55mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
5725, 26, 28, 56syl3anc 1366 . . . 4 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
5857exp31 629 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))))
599, 13, 17, 21, 24, 58uzind4 11784 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾)))
604, 5, 59sylc 65 1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  climsuse  40158
  Copyright terms: Public domain W3C validator