Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsubc2mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubc2mpt 40415
 Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climsubc2mpt.k 𝑘𝜑
climsubc2mpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsubc2mpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsubc2mpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubc2mpt.c (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
climsubc2mpt.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climsubc2mpt (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubc2mpt
StepHypRef Expression
1 climsubc2mpt.k . 2 𝑘𝜑
2 climsubc2mpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climsubc2mpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 climsubc2mpt.a . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 climsubc2mpt.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65adantr 472 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 climsubc2mpt.c . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
83, 2, 5climconstmpt 40412 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐵)
91, 2, 3, 4, 6, 7, 8climsubmpt 40414 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2140   class class class wbr 4805   ↦ cmpt 4882  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℂcc 10147   − cmin 10479  ℤcz 11590  ℤ≥cuz 11900   ⇝ cli 14435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator