MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshft 14515
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climshft
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
21breq1d 4796 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3 breq1 4789 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐴𝐹𝐴))
42, 3bibi12d 334 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
54imbi2d 329 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))))
6 znegcl 11614 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7 ovex 6823 . . . . . . 7 (𝑓 shift 𝑀) ∈ V
87climshftlem 14513 . . . . . 6 (-𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
10 eqid 2771 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
11 ovexd 6825 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
12 vex 3354 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
15 zcn 11584 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16 eluzelcn 11900 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
1712shftcan1 14031 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
1815, 16, 17syl2an 583 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
1910, 11, 13, 14, 18climeq 14506 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
209, 19sylibd 229 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
2112climshftlem 14513 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
2220, 21impbid 202 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
235, 22vtoclg 3417 . 2 (𝐹𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
2423impcom 394 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  -cneg 10469  cz 11579  cuz 11888   shift cshi 14014  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-shft 14015  df-clim 14427
This theorem is referenced by:  climshft2  14521  isershft  14602  cvgrat  14822  eftlub  15045  dvradcnv2  39072  binomcxplemnotnn0  39081
  Copyright terms: Public domain W3C validator