Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climresmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climresmpt 40413
Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climresmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climresmpt.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
climresmpt.n (𝜑𝑁𝑍)
climresmpt.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climresmpt (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt
StepHypRef Expression
1 climresmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
21reseq1i 5548 . . . . 5 (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)))
4 climresmpt.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
5 climresmpt.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5syl6eleq 2850 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 uzss 11921 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 5syl6sseqr 3794 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
10 resmpt 5608 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
12 climresmpt.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
1312eqcomi 2770 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
153, 11, 143eqtrrd 2800 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)))
1615breq1d 4815 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵))
17 eluzelz 11910 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
186, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
19 fvex 6364 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
205, 19eqeltri 2836 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
2120mptex 6652 . . . . 5 (𝑥𝑍𝐴) ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴) ∈ V)
231, 22syl5eqel 2844 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
24 climres 14526 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2518, 23, 24syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2616, 25bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  wss 3716   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cres 5269  cfv 6050  cz 11590  cuz 11900  cli 14435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-neg 10482  df-z 11591  df-uz 11901  df-clim 14439
This theorem is referenced by:  meaiininclem  41225
  Copyright terms: Public domain W3C validator