Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 40345
 Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 𝑘𝜑
climneg.2 𝑘𝐹
climneg.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climneg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5 (𝜑𝐹𝐴)
climneg.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climneg (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 𝑘𝜑
2 nfmpt1 4899 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -1)
3 climneg.2 . . 3 𝑘𝐹
4 nfmpt1 4899 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
5 climneg.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climneg.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 fvex 6362 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
85, 7eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
98mptex 6650 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V)
11 1cnd 10248 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1211negcld 10571 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
13 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1))
14 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
15 id 22 . . . . . 6 (𝑗𝑍𝑗𝑍)
16 1cnd 10248 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → 1 ∈ ℂ)
1716negcld 10571 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → -1 ∈ ℂ)
1813, 14, 15, 17fvmptd 6450 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
1918adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
205, 6, 10, 12, 19climconst 14473 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
218mptex 6650 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V)
23 climneg.5 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
24 neg1cn 11316 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
25 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1)
2625fvmpt2 6453 . . . . . 6 ((𝑘𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2724, 26mpan2 709 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2827, 24syl6eqel 2847 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
2928adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
30 climneg.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
31 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
3230negcld 10571 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
33 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
3433fvmpt2 6453 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3531, 32, 34syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3630mulm1d 10674 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
3727eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3837adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3938oveq1d 6828 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
4035, 36, 393eqtr2d 2800 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 22, 23, 29, 30, 40climmulf 40339 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
42 climcl 14429 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
4323, 42syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4443mulm1d 10674 . 2 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
4541, 44breqtrd 4830 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2139  Ⅎwnfc 2889  Vcvv 3340   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  1c1 10129   · cmul 10133  -cneg 10459  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879   ⇝ cli 14414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418 This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  40536
 Copyright terms: Public domain W3C validator