Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlimsupcex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlimsupcex 40319
 Description: Counterexample for climlimsup 40310, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 9992 and its comment) (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climlimsupcex.1 ¬ 𝑀 ∈ ℤ
climlimsupcex.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlimsupcex.3 𝐹 = ∅
Assertion
Ref Expression
climlimsupcex ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem climlimsupcex
StepHypRef Expression
1 f0 6124 . . . 4 ∅:∅⟶ℝ
2 climlimsupcex.3 . . . . 5 𝐹 = ∅
3 climlimsupcex.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climlimsupcex.1 . . . . . . 7 ¬ 𝑀 ∈ ℤ
5 uz0 39952 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = ∅
73, 6eqtri 2673 . . . . 5 𝑍 = ∅
82, 7feq12i 6076 . . . 4 (𝐹:𝑍⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
91, 8mpbir 221 . . 3 𝐹:𝑍⟶ℝ
109a1i 11 . 2 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
11 climrel 14267 . . . . 5 Rel ⇝
1211a1i 11 . . . 4 (∅ ∈ ℂ → Rel ⇝ )
13 0cnv 40292 . . . . 5 (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
142, 13syl5eqbr 4720 . . . 4 (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ ∅)
15 releldm 5390 . . . 4 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ ∅) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1612, 14, 15syl2anc 694 . . 3 (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1716adantr 480 . 2 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1813adantr 480 . . . 4 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
1918adantlr 751 . . 3 (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
20 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ ∅)
212fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘∅)
22 limsup0 40244 . . . . . . . . . 10 (lim sup‘∅) = -∞
2321, 22eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (lim sup‘𝐹) = -∞
242, 23breq12i 4694 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ∅ ⇝ -∞)
2524biimpi 206 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) → ∅ ⇝ -∞)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ -∞)
27 climuni 14327 . . . . . 6 ((∅ ⇝ ∅ ∧ ∅ ⇝ -∞) → ∅ = -∞)
2820, 26, 27syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
2928adantll 750 . . . 4 ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
30 nelneq 2754 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ ∅ = -∞)
3130ad2antrr 762 . . . 4 ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ¬ ∅ = -∞)
3229, 31pm2.65da 599 . . 3 (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ¬ ∅ ⇝ ∅)
3319, 32pm2.65da 599 . 2 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
3410, 17, 333jca 1261 1 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℂcc 9972  ℝcr 9973  -∞cmnf 10110  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  lim supclsp 14245   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator