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Theorem climleltrp 40226
Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climleltrp.k 𝑘𝜑
climleltrp.f 𝑘𝐹
climleltrp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climleltrp.n (𝜑𝑁𝑍)
climleltrp.r ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climleltrp.a (𝜑𝐹𝐴)
climleltrp.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
climleltrp.l (𝜑𝐴𝐶)
climleltrp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
climleltrp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑁,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climleltrp
StepHypRef Expression
1 climleltrp.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 climleltrp.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2740 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzss 11746 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
65, 2syl6sseqr 3685 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
7 climleltrp.k . . . 4 𝑘𝜑
8 climleltrp.f . . . 4 𝑘𝐹
9 uzssz 11745 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
109, 3sseldi 3634 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 eqid 2651 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
12 climleltrp.a . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
13 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 climleltrp.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
157, 8, 10, 11, 12, 13, 14clim2d 40223 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
16 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)
177, 16nfan 1868 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
18 simplll 813 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝜑)
19 uzss 11746 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
2019ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
21 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
2220, 21sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
24 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
25 climleltrp.r . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2613, 25eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
28 climcl 14274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3126recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3230, 31pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝐹𝑘))
3332eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3433adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3534, 27eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
36 climleltrp.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3736ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
387, 8, 11, 10, 12, 25climreclf 40214 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
4027, 39resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
4137, 40readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
4214rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
4437, 43readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + 𝑋) ∈ ℝ)
45 climleltrp.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝐶)
4645ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴𝐶)
4739, 37, 40, 46leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≤ (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4831adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4930adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
5150abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5240leabsd 14197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
53 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
5440, 51, 43, 52, 53lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) < 𝑋)
5540, 43, 37, 54ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5635, 41, 44, 47, 55lelttrd 10233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5734, 56eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))
5827, 57jca 553 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
5918, 23, 24, 58syl21anc 1365 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6059adantrl 752 . . . . . 6 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6160ex 449 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6217, 61ralimdaa 2987 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6362reximdva 3046 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6415, 63mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
65 ssrexv 3700 . 2 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
666, 64, 65sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264
This theorem is referenced by:  smflimlem2  41301
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