Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinfmpt 40265
Description: A bounded below, monotonic non increasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinfmpt.p 𝑘𝜑
climinfmpt.j 𝑗𝜑
climinfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
climinfmpt.c (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
climinfmpt.l ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
climinfmpt.e (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵)
Assertion
Ref Expression
climinfmpt (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑥,𝐵   𝐶,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑥,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem climinfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . 2 𝑖𝜑
2 nfcv 2793 . 2 𝑖(𝑘𝑍𝐵)
3 climinfmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climinfmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climinfmpt.p . . 3 𝑘𝜑
6 climinfmpt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 39756 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
8 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘 𝑖𝑍
95, 8nfan 1868 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
10 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶
119, 10nfim 1865 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
12 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
1312anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
14 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3573 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
16 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝐵)
17 csbco 3576 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
18 csbid 3574 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
1917, 18eqtr2i 2674 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
20 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐵
21 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐶
22 climinfmpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
2320, 21, 22cbvcsb 3571 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑗𝐶
24 csbid 3574 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑗𝐶 = 𝐶
2523, 24eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐶
2625csbeq2i 4026 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2719, 26eqtri 2673 . . . . . . . . 9 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶)
29 csbeq1 3569 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3016, 28, 293eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3115, 30breq12d 4698 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
3213, 31imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)))
33 simpl 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
34 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
35 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
36 climinfmpt.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
37 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑍
38 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
3936, 37, 38nf3an 1871 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
40 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶
41 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑗
4240, 41, 20nfbr 4732 . . . . . . . 8 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵
4339, 42nfim 1865 . . . . . . 7 𝑗((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
44 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑘 + 1) ∈ V
45 eqeq1 2655 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)))
46453anbi3d 1445 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))))
47 csbeq1a 3575 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝐶 = (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶)
4847breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝐵(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵))
4946, 48imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)))
50 climinfmpt.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3289 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5311, 32, 52chvar 2298 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
54 csbco 3576 . . . . . . . 8 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
5554eqcomi 2660 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
5625csbeq2i 4026 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5755, 56eqtri 2673 . . . . . 6 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
59 eqidd 2652 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
6058, 59breq12d 4698 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
6153, 60mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶)
623peano2uzs 11780 . . . . . 6 (𝑖𝑍 → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6362adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
64 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
655, 64nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
66 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑖 + 1)
6766nfcsb1 3581 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
6867nfel1 2808 . . . . . . . 8 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
6965, 68nfim 1865 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
70 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
71 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
7271anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
73 csbeq1a 3575 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7473eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
7572, 74imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
7669, 70, 75, 6vtoclf 3289 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
7762, 76sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
78 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
7966, 67, 73, 78fvmptf 6340 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
8063, 77, 79syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
81 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
82 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
8336, 82nfan 1868 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
84 nfcsb1v 3582 . . . . . . . 8 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶
85 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑗
8684, 85nfel 2806 . . . . . . 7 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ
8783, 86nfim 1865 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
88 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑍𝑖𝑍))
8988anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
90 csbeq1a 3575 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
9190eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ))
9289, 91imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)))
93 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
945, 93nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
95 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶 ∈ ℝ
9694, 95nfim 1865 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
97 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
9897anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
9922eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10098, 99imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)))
10196, 100, 6chvar 2298 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
10287, 92, 101chvar 2298 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
103 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘𝑖
104 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘𝑖 / 𝑗𝐶
105103, 104, 30, 78fvmptf 6340 . . . . 5 ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10681, 102, 105syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10780, 106breq12d 4698 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶))
10861, 107mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
109 climinfmpt.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵)
110 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
111110ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑍 𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
112111cbvrexv 3202 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵)
113109, 112sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵)
114 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘𝑦
115 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘
116 nfmpt1 4780 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
117116, 103nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)
118114, 115, 117nfbr 4732 . . . . . . 7 𝑘 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)
119 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑖 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)
120 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘))
121120breq2d 4697 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)))
122118, 119, 121cbvral 3197 . . . . . 6 (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘))
123122a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘)))
12478a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵))
125124, 6fvmpt2d 6332 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
126125breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) ↔ 𝑦𝐵))
1275, 126ralbida 3011 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
128123, 127bitrd 268 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
129128rexbidv 3081 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦𝐵))
130113, 129mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
1311, 2, 3, 4, 7, 108, 130climinf2 40257 1 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  csb 3566   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator