Theorem climinf3 40266

Description: A convergent, non-increasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinf3.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinf3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinf3.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinf3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinf3.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climinf3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climinf3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf3.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climinf3.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		climinf3.4	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climinf3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climinf3.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
6		climinf3.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7		climinf3.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	5	ffvelrnda 6399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10106	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	1, 9	ralrimia 39629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	2, 3	climbddf 40237	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
13		renegcl 10382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		nfv 1883	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℝ
16	1, 15	nfan 1868	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
17		nfra1 2970	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥
18	16, 17	nfan 1868	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
19		simpll 805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
20		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21		rspa 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
22	21	adantll 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
23		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
24	8	ad4ant13 1315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
25		simpllr 815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	absled 14213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)))
27	23, 26	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
28	27	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
29	19, 20, 22, 28	syl21anc 1365	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
30	29	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
31	18, 30	ralrimi 2986	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
32		breq1 4688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
33	32	ralbidv 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
34	33	rspcev 3340	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
35	14, 31, 34	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
36	35	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	36	rexlimdva 3060	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
38	12, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
39	1, 2, 3, 4, 5, 6, 38	climinf2 40257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  -cneg 10305  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725  abscabs 14018   ⇝ cli 14259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263

This theorem is referenced by: (None)