Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf2mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf2mpt 40264
 Description: A bounded below, monotonic non increasing sequence converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf2mpt.p 𝑘𝜑
climinf2mpt.j 𝑗𝜑
climinf2mpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinf2mpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinf2mpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
climinf2mpt.c (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
climinf2mpt.l ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
climinf2mpt.e (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climinf2mpt (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝐶,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem climinf2mpt
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . 2 𝑖𝜑
2 nfcv 2793 . 2 𝑖(𝑘𝑍𝐵)
3 climinf2mpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climinf2mpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climinf2mpt.p . . 3 𝑘𝜑
6 climinf2mpt.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6fmptd2f 39756 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
8 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘 𝑖𝑍
95, 8nfan 1868 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
10 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶
119, 10nfim 1865 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
12 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
1312anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
14 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
1514csbeq1d 3573 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
16 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝐵)
17 csbco 3576 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
18 csbid 3574 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
1917, 18eqtr2i 2674 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
20 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐵
21 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐶
22 climinf2mpt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝐶)
2320, 21, 22cbvcsb 3571 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑗𝐶
24 csbid 3574 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 / 𝑗𝐶 = 𝐶
2523, 24eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐶
2625csbeq2i 4026 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2719, 26eqtri 2673 . . . . . . . . 9 𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐶)
29 csbeq1 3569 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3016, 28, 293eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
3115, 30breq12d 4698 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
3213, 31imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)))
33 simpl 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
34 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
35 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
36 climinf2mpt.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
37 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑍
38 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
3936, 37, 38nf3an 1871 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))
40 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶
41 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑗
4240, 41, 20nfbr 4732 . . . . . . . 8 𝑗(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵
4339, 42nfim 1865 . . . . . . 7 𝑗((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
44 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑘 + 1) ∈ V
45 eqeq1 2655 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)))
46453anbi3d 1445 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1))))
47 csbeq1a 3575 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝐶 = (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶)
4847breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝐵(𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵))
4946, 48imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)))
50 climinf2mpt.l . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝐶𝐵)
5143, 44, 49, 50vtoclf 3289 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5233, 34, 35, 51syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) / 𝑗𝐶𝐵)
5311, 32, 52chvar 2298 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶)
54 csbco 3576 . . . . . . . 8 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
5554eqcomi 2660 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵
5625csbeq2i 4026 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5755, 56eqtri 2673 . . . . . 6 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑗𝐶)
59 eqidd 2652 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
6058, 59breq12d 4698 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶(𝑖 + 1) / 𝑗𝐶𝑖 / 𝑗𝐶))
6153, 60mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶)
623peano2uzs 11780 . . . . . 6 (𝑖𝑍 → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
6362adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
64 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) ∈ 𝑍
655, 64nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)
66 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑖 + 1)
6766nfcsb1 3581 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵
6867nfel1 2808 . . . . . . . 8 𝑘(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
6965, 68nfim 1865 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
70 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
71 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘𝑍 ↔ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍))
7271anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍)))
73 csbeq1a 3575 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
7473eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
7572, 74imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
7669, 70, 75, 6vtoclf 3289 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
7762, 76sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
78 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
7966, 67, 73, 78fvmptf 6340 . . . . 5 (((𝑖 + 1) ∈ 𝑍(𝑖 + 1) / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
8063, 77, 79syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵)
81 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
82 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑍
8336, 82nfan 1868 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑖𝑍)
84 nfcsb1v 3582 . . . . . . . 8 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶
85 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑗
8684, 85nfel 2806 . . . . . . 7 𝑗𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ
8783, 86nfim 1865 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
88 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑍𝑖𝑍))
8988anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
90 csbeq1a 3575 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑗𝐶)
9190eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ))
9289, 91imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)))
93 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
945, 93nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
95 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶 ∈ ℝ
9694, 95nfim 1865 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
97 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
9897anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
9922eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10098, 99imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)))
10196, 100, 6chvar 2298 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
10287, 92, 101chvar 2298 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ)
103 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘𝑖
104 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘𝑖 / 𝑗𝐶
105103, 104, 30, 78fvmptf 6340 . . . . 5 ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑗𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10681, 102, 105syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑗𝐶)
10780, 106breq12d 4698 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑘𝐵𝑖 / 𝑗𝐶))
10861, 107mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑖 + 1)) ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
109 climinf2mpt.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
110106, 102eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
111110recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
112111ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
1132, 3climbddf 40237 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
1144, 109, 112, 113syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥)
1151, 110rexabsle2 39967 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 (abs‘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))))
116114, 115mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖) ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖)))
117116simprd 478 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑥 ≤ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑖))
1181, 2, 3, 4, 7, 108, 117climinf2 40257 1 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ inf(ran (𝑘𝑍𝐵), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ⦋csb 3566   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  abscabs 14018   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263 This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  41350
 Copyright terms: Public domain W3C validator