Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf2 40257
 Description: A convergent, non-increasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf2.k 𝑘𝜑
climinf2.n 𝑘𝐹
climinf2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinf2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinf2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf2.l ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climinf2.e (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climinf2 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinf2
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinf2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climinf2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climinf2.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 climinf2.k . . . . 5 𝑘𝜑
5 nfv 1883 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1868 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 climinf2.n . . . . . 6 𝑘𝐹
8 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘(𝑗 + 1)
97, 8nffv 6236 . . . . 5 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘
11 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘𝑗
127, 11nffv 6236 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
139, 10, 12nfbr 4732 . . . 4 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)
146, 13nfim 1865 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
15 eleq1 2718 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 740 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
1817fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
19 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
2018, 19breq12d 4698 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)))
2116, 20imbi12d 333 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))))
22 climinf2.l . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
2314, 21, 22chvar 2298 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
24 climinf2.e . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
25 nfv 1883 . . . 4 𝑦𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
26 nfv 1883 . . . 4 𝑥𝑗𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)
27 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹𝑘)))
2827ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘)))
29 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑗 𝑦 ≤ (𝐹𝑘)
30 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘𝑦
3130, 10, 12nfbr 4732 . . . . . . 7 𝑘 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)
3219breq2d 4697 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
3329, 31, 32cbvral 3197 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑗𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
3433a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑗𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
3528, 34bitrd 268 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑗𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
3625, 26, 35cbvrex 3198 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
3724, 36sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
381, 2, 3, 23, 37climinf2lem 40256 1 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263 This theorem is referenced by:  climinf2mpt  40264  climinfmpt  40265  climinf3  40266
 Copyright terms: Public domain W3C validator