MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climge0 14523
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climshft2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzsup 12870 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5 climrecl.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
6 climrel 14431 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelexi 5297 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
102, 9climmpt 14510 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
125, 11mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴)
13 climrecl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 10274 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514fmpttd 6530 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
162, 1, 15rlimclim 14485 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
1712, 16mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴)
18 climge0.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
194, 17, 13, 18rlimge0 14520 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  supcsup 8506  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cz 11584  cuz 11893  cli 14423  𝑟 crli 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428
This theorem is referenced by:  climle  14578  radcnvrat  39039
  Copyright terms: Public domain W3C validator