Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveq 40419
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveq.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveq.2 (𝜑𝐹𝑉)
climfveq.3 (𝜑𝐺𝑊)
climfveq.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveq.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climfveq (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveq
StepHypRef Expression
1 climdm 14493 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
21biimpi 206 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
32adantl 467 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
43, 1sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
5 climfveq.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climfveq.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑉)
7 climfveq.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑊)
8 climfveq.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 climfveq.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
105, 6, 7, 8, 9climeldmeq 40415 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
1110adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
124, 11mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
13 climdm 14493 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
1412, 13sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
157adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
166adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
178adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
189eqcomd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
1918adantlr 694 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
205, 15, 16, 17, 19climeq 14506 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2114, 20mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
22 climuni 14491 . . 3 ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
233, 21, 22syl2anc 573 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
24 ndmfv 6359 . . . 4 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
2524adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
26 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2710adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
2826, 27mtbid 313 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29 ndmfv 6359 . . . 4 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
3028, 29syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
3125, 30eqtr4d 2808 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
3223, 31pm2.61dan 814 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4063   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6031  cz 11579  cuz 11888  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427
This theorem is referenced by:  climfveqmpt  40421  climfveqmpt3  40432
  Copyright terms: Public domain W3C validator