Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveq 39337
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveq.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveq.2 (𝜑𝐹𝑉)
climfveq.3 (𝜑𝐺𝑊)
climfveq.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveq.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climfveq (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveq
StepHypRef Expression
1 climdm 14235 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
21biimpi 206 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
32adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
43, 1sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
5 climfveq.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climfveq.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑉)
7 climfveq.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑊)
8 climfveq.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 climfveq.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
105, 6, 7, 8, 9climeldmeq 39333 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
124, 11mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
13 climdm 14235 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
1412, 13sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
157adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
166adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
178adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
189eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
1918adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
205, 15, 16, 17, 19climeq 14248 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2114, 20mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
22 climuni 14233 . . 3 ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
233, 21, 22syl2anc 692 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
24 ndmfv 6185 . . . 4 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
2524adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
26 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2710adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
2826, 27mtbid 314 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29 ndmfv 6185 . . . 4 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
3028, 29syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
3125, 30eqtr4d 2658 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
3223, 31pm2.61dan 831 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3897   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  cfv 5857  cz 11337  cuz 11647  cli 14165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169
This theorem is referenced by:  climfveqmpt  39339  climfveqmpt3  39350
  Copyright terms: Public domain W3C validator