Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfsum 14772
 Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
climfsum.6 (𝜑𝐻𝑊)
climfsum.7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
Assertion
Ref Expression
climfsum (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
21mpteq2dva 4897 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)))
3 climfsum.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 11920 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 3777 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 11597 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3754 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 climfsum.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fvexd 6366 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝐴)) → (𝐹𝑛) ∈ V)
11 climfsum.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
12 climfsum.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 climrel 14443 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1514brrelexi 5316 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
183, 17climmpt 14522 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
1913, 16, 18syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2011, 19mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵)
21 climfsum.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2221anassrs 683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2322, 17fmptd 6550 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
243, 13, 23rlimclim 14497 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2520, 24mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
268, 9, 10, 25fsumrlim 14763 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵)
279adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
2821anass1rs 884 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2927, 28fsumcl 14684 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
30 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
3129, 30fmptd 6550 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
323, 12, 31rlimclim 14497 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3326, 32mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
342, 33eqbrtrd 4827 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
35 climfsum.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
36 eqid 2761 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛))
373, 36climmpt 14522 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3812, 35, 37syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3934, 38mpbird 247 1 (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ⊆ wss 3716   class class class wbr 4805   ↦ cmpt 4882  ‘cfv 6050  Fincfn 8124  ℂcc 10147  ℝcr 10148  ℤcz 11590  ℤ≥cuz 11900   ⇝ cli 14435   ⇝𝑟 crli 14436  Σcsu 14636 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637 This theorem is referenced by:  itg1climres  23701  plyeq0lem  24186
 Copyright terms: Public domain W3C validator