Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt2 40442
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt2.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt2.a (𝜑𝐴𝑊)
climeldmeqmpt2.t (𝜑𝐵𝑉)
climeldmeqmpt2.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt2.l (𝜑𝑍𝐵)
climeldmeqmpt2.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt2 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐵𝐶) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt2
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt2.k . 2 𝑘𝜑
2 nfmpt1 4882 . 2 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
3 nfmpt1 4882 . 2 𝑘(𝑘𝐵𝐶)
4 climeldmeqmpt2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 climeldmeqmpt2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
65mptexd 6634 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) ∈ V)
7 climeldmeqmpt2.t . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
87mptexd 6634 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) ∈ V)
9 climeldmeqmpt2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 climeldmeqmpt2.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
1110sselda 3752 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
12 climeldmeqmpt2.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
13 fvmpt4 39961 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑈) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1411, 12, 13syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
15 climeldmeqmpt2.l . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
1615sselda 3752 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐵)
17 fvmpt4 39961 . . . 4 ((𝑘𝐵𝐶𝑈) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1816, 12, 17syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1914, 18eqtr4d 2808 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
201, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 19climeldmeqf 40430 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐵𝐶) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  cmpt 4864  dom cdm 5250  cfv 6030  cz 11584  cuz 11893  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator