Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt 40218
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt.a (𝜑𝐴𝑅)
climeldmeqmpt.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
climeldmeqmpt.t (𝜑𝐶𝑆)
climeldmeqmpt.l (𝜑𝑍𝐶)
climeldmeqmpt.c ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
climeldmeqmpt.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climeldmeqmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑅)
32mptexd 6528 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climeldmeqmpt.t . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
54mptexd 6528 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climeldmeqmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climeldmeqmpt.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1868 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcsb1v 3582 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
11 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1211nfcsb1 3581 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1310, 12nfeq 2805 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1865 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 740 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3575 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3575 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climeldmeqmpt.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvar 2298 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climeldmeqmpt.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
2423sselda 3636 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
25 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
267, 25nfan 1868 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
27 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘𝑉
2810, 27nfel 2806 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑉
2926, 28nfim 1865 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
30 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
3130anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
3217eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑉𝑗 / 𝑘𝐵𝑉))
3331, 32imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)))
34 climeldmeqmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3529, 33, 34chvar 2298 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
3624, 35syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
3711nfcsb1 3581 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
38 eqid 2651 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
3911, 37, 17, 38fvmptf 6340 . . . 4 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑉) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4024, 36, 39syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
41 climeldmeqmpt.l . . . . 5 (𝜑𝑍𝐶)
4241sselda 3636 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
43 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐶
447, 43nfan 1868 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐶)
45 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘𝑊
4612, 45nfel 2806 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷𝑊
4744, 46nfim 1865 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
48 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐶𝑗𝐶))
4948anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
5018eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑊𝑗 / 𝑘𝐷𝑊))
5149, 50imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)))
52 climeldmeqmpt.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
5347, 51, 52chvar 2298 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
5442, 53syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
55 eqid 2651 . . . . 5 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
5611, 12, 18, 55fvmptf 6340 . . . 4 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑊) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
5742, 54, 56syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
5822, 40, 573eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
591, 3, 5, 6, 58climeldmeq 40215 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  Vcvv 3231  csb 3566  wss 3607  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  cz 11415  cuz 11725  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263
This theorem is referenced by:  fnlimfvre  40224  smflimsuplem4  41350
  Copyright terms: Public domain W3C validator