Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeq 40392
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeq.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeq.f (𝜑𝐹𝑉)
climeldmeq.g (𝜑𝐺𝑊)
climeldmeq.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeq.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climeldmeq (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeq
StepHypRef Expression
1 climeldmeq.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑊)
21adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
3 fvexd 6356 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
4 climdm 14476 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
65biimpa 502 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7 climeldmeq.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 climeldmeq.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑉)
9 climeldmeq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 climeldmeq.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
117, 8, 1, 9, 10climeq 14489 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
136, 12mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
14 breldmg 5477 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V ∧ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
152, 3, 13, 14syl3anc 1473 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
1615ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
178adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
18 fvexd 6356 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V)
19 climdm 14476 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2019biimpi 206 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2120adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2210eqcomd 2758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
237, 1, 8, 9, 22climeq 14489 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2423adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2521, 24mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
26 breldmg 5477 . . . 4 ((𝐹𝑉 ∧ ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2717, 18, 25, 26syl3anc 1473 . . 3 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2827ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
2916, 28impbid 202 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  cfv 6041  cz 11561  cuz 11871  cli 14406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410
This theorem is referenced by:  climeldmeqmpt  40395  climfveq  40396  climfveqf  40407  climeldmeqf  40410  climeldmeqmpt3  40416
  Copyright terms: Public domain W3C validator