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Theorem climcndslem1 14625
 Description: Lemma for climcnds 14627: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcndslem1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climcndslem1
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
2 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
31, 2syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = 1)
43oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑1))
5 2cn 11129 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
6 exp1 12906 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
8 df-2 11117 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
97, 8eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (2↑1) = (1 + 1)
104, 9syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑(𝑥 + 1)) = (1 + 1))
1110oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = ((1 + 1) − 1))
12 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312, 12pncan3oi 10335 . . . . . . 7 ((1 + 1) − 1) = 1
1411, 13syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = 1)
1514fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘1))
16 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘0))
1715, 16breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0)))
1817imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0))))
19 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 + 1) = (𝑗 + 1))
2019oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑(𝑗 + 1)))
2120oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = ((2↑(𝑗 + 1)) − 1))
2221fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
23 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
2422, 23breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = 𝑗 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)))
2524imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑗 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))))
26 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑥 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
2726oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
2827oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
2928fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
30 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
3129, 30breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1))))
3231imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
33 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 + 1) = (𝑁 + 1))
3433oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3534oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = ((2↑(𝑁 + 1)) − 1))
3635fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)))
37 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
3836, 37breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁)))
3938imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))))
40 1nn 11069 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
41 climcnds.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4241ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
43 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
4443eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℝ))
4544rspcv 3336 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘1) ∈ ℝ))
4640, 42, 45mpsyl 68 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
4746leidd 10632 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1))
4846recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
4948mulid2d 10096 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝐹‘1)) = (𝐹‘1))
5047, 49breqtrrd 4713 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) ≤ (1 · (𝐹‘1)))
51 1z 11445 . . . . 5 1 ∈ ℤ
52 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
5351, 52seq1i 12855 . . . 4 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
54 0z 11426 . . . . 5 0 ∈ ℤ
55 0nn0 11345 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
56 climcnds.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
5756ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
58 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
59 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (2↑𝑛) = (2↑0))
60 exp0 12904 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
615, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑0) = 1
6259, 61syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (2↑𝑛) = 1)
6362fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (𝐹‘(2↑𝑛)) = (𝐹‘1))
6462, 63oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) = (1 · (𝐹‘1)))
6558, 64eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → ((𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ↔ (𝐺‘0) = (1 · (𝐹‘1))))
6665rspcv 3336 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) → (𝐺‘0) = (1 · (𝐹‘1))))
6755, 57, 66mpsyl 68 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0) = (1 · (𝐹‘1)))
6854, 67seq1i 12855 . . . 4 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺)‘0) = (1 · (𝐹‘1)))
6950, 53, 683brtr4d 4717 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0))
70 fzfid 12812 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin)
71 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝜑)
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → 𝜑)
73 2nn 11223 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
74 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
76 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
7773, 75, 76sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
78 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
79 eluznn 11796 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
8077, 78, 79syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
8172, 80, 41syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8242adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
83 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (2↑(𝑗 + 1)) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
8483eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑(𝑗 + 1)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ))
8584rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ))
8677, 82, 85sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8786adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
88 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
89 simplll 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → 𝜑)
9077adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
91 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
9290, 91, 79syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9389, 92, 41syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
94 simplll 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
95 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
9690, 95, 79syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
97 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9894, 96, 97syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9988, 93, 98monoord2 12872 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
10099ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))(𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
101 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
102101breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
103102rspccva 3339 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))(𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
104100, 78, 103syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
10570, 81, 87, 104fsumle 14575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
106 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin)
107 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin → (#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
109108nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℂ)
11077nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
111110recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
112 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin → (#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
11370, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
114113nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℂ)
115 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℤ
116 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
117115, 75, 116sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
118 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
120 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
121119, 120syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘1))
122 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
123 1le2 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ≤ 2
124 leexp2a 12956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → (2↑1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
125122, 123, 124mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (2↑1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
126121, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
1277, 126syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
128115eluz1i 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
129117, 127, 128sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2))
130 uz2m1nn 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
132131, 120syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
133 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
134117, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
135 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
13675, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
137 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
138115, 136, 137sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
139 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
141117zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
142138zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
143 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
14475nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
145 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 + 1) ∈ ℤ → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
146 peano2uz 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
147 leexp2a 12956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
148122, 123, 147mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
149144, 145, 146, 1484syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
150141, 142, 143, 149lesub1dd 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ≤ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
151 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ↔ (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ≤ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
152134, 140, 150, 151syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
153 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ↔ (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1))))
154132, 152, 153sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
155 fzsplit 12405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
157 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1) = (2↑(𝑗 + 1)))
158111, 12, 157sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1) = (2↑(𝑗 + 1)))
159158oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
160159uneq2d 3800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
161156, 160eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
162161fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = (#‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
163 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · 2))
1645, 75, 163sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · 2))
165111times2d 11314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · 2) = ((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))))
166164, 165eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))))
167166oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))) − 1))
168 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
169111, 111, 168addsubd 10451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
170167, 169eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
171 uztrn 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1)) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
172152, 132, 171syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
173172, 120syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ)
174173nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ0)
175 hashfz1 13174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
177131nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ0)
178 hashfz1 13174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) = ((2↑(𝑗 + 1)) − 1))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) = ((2↑(𝑗 + 1)) − 1))
180179oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
181170, 176, 1803eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))))
182110ltm1d 10994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
183 fzdisj 12406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) < (2↑(𝑗 + 1)) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅)
185 hashun 13209 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅) → (#‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))) = ((#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
186106, 70, 184, 185syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (#‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))) = ((#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
187162, 181, 1863eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))) = ((#‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
188109, 111, 114, 187addcanad 10279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) = (#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
189188oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))) = ((#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
19057adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
191 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
192 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑗 + 1)))
193192fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐹‘(2↑𝑛)) = (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
194192, 193oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
195191, 194eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ↔ (𝐺‘(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))))
196195rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))))
19775, 190, 196sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
19886recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
199 fsumconst 14566 . . . . . . . . . 10 ((((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) = ((#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
20070, 198, 199syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) = ((#‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
201189, 197, 2003eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
202105, 201breqtrrd 4713 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
203 elfznn 12408 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
20471, 203, 41syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
205106, 204fsumrecl 14509 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
20670, 81fsumrecl 14509 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
207 nn0uz 11760 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
208 0zd 11427 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
209 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
210 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
21173, 209, 210sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
212211nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21342adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
214 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
215214eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
216215rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
217211, 213, 216sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
218212, 217remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
21956, 218eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
220207, 208, 219serfre 12870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
221220ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
222141, 86remulcld 10108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
223197, 222eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
224 le2add 10548 . . . . . . . 8 (((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)) → ((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
225205, 206, 221, 223, 224syl22anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
226202, 225mpan2d 710 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
227 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
22841recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22971, 203, 228syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
230227, 132, 229fsumser 14505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
231230eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘))
232231breq1d 4695 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)))
233 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
234 elfznn 12408 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23571, 234, 228syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
236233, 172, 235fsumser 14505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
237 fzfid 12812 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin)
238184, 161, 237, 235fsumsplit 14515 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)))
239236, 238eqtr3d 2687 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)))
240 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
241240, 207syl6eleq 2740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
242 seqp1 12856 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) → (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1))))
243241, 242syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1))))
244239, 243breq12d 4698 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) ↔ (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
245226, 232, 2443imtr4d 283 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1))))
246245expcom 450 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
247246a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)) → (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
24818, 25, 32, 39, 69, 247nn0ind 11510 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁)))
249248impcom 445 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  ↑cexp 12900  #chash 13157  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461 This theorem is referenced by:  climcnds  14627
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